Привет! Давай разберёмся вместе с этой задачей по геометрии.
Нам нужно найти длину катета прямоугольного треугольника, который образуется при отрезании углов от квадратного стекла для формирования восьмиугольника.
Стекло имеет форму квадрата со стороной 40 см. Если мы нарисуем восьмиугольник внутри квадрата, то углы квадрата будут разделены на два треугольника. Так как в результате должен получиться правильный восьмиугольник (все стороны и углы равны), то отрезаемые четыре треугольника на углах также будут равны.
Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это сторона квадрата, равная 40 см. Нужно найти длину катета. Этот катет станет стороной восьмиугольника. Поскольку в правильном восьмиугольнике противоположные стороны равны и параллельны, длина катета треугольника будет равна половине стороны квадрата, уменьшенной на длину одной из сторон восьмиугольника.
Пусть x — длина стороны восьмиугольника (катета треугольника). Тогда второй катет этого же треугольника (который также является x) будет равен половине стороны квадрата 40 см, т.е. 20 см, минус x. Таким образом, мы имеем два катета: один x, другой 20 см - x.
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины катета:
( x^2 + (20 - x)^2 = 40^2 )
Раскроем скобки во втором слагаемом:
( x^2 + (400 - 40x + x^2) = 1600 )
Объединим подобные слагаемые:
( 2x^2 - 40x + 400 = 1600 )
Переносим все слагаемые в одну сторону:
( 2x^2 - 40x - 1200 = 0 )
Делим уравнение на 2:
( x^2 - 20x - 600 = 0 )
Решаем квадратное уравнение через дискриминант ( D = b^2 - 4ac ):
( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 400 + 2400 = 2800 )
Извлекаем квадратный корень:
( \sqrt{D} = \sqrt{2800} = 52.915 ) (округлим до второго знака после запятой)
Используем формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} )
( x_{1} = \frac{20 + 52.92}{2} = \frac{72.92}{2} = 36.46 ) (см)
( x_{2} = \frac{20 - 52.92}{2} ) отрицательный корень нас не интересует, так как длина не может быть отрицательной.
Таким образом, длина катета равна приблизительно 36.46 см, что равно 364.6 мм (так как в 1 см 10 мм).
Это приближенный ответ, так как мы округляли значения. Если бы мы использовали точное значение корня из двух, ответ мог бы быть еще более точным. Но согласно условию задачи, мы использовали приближенное значение 1,41 для корня из двух.
