Задания под номером 2, з

Здравствуй! Давай разберемся с заданием номер 2, пункт з. Нам нужно построить график функции и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки. Функция задана кусочно: \[ y = \begin{cases} 4x - 5, & \text{если } x < 1, \\ -2,5x + 5, & \text{если } 1 \leq x < 4, \\ x - 9, & \text{если } x \geq 4. \end{cases} \] Для начала построим каждый участок графика в соответствующем интервале. 1. \( y = 4x - 5 \) в интервале \( x < 1 \). Это линейная функция с угловым коэффициентом \( k = 4 \) и началом в точке \( (-5) \) по оси ординат. Прямая будет расти вверх и вправо. 2. \( y = -2,5x + 5 \) в интервале \( 1 \leq x < 4 \). Это убывающая линейная функция с угловым коэффициентом \( k = -2,5 \) и началом в точке \( y = 5 \) при \( x = 0 \). 3. \( y = x - 9 \) начиная с \( x \geq 4 \). Это возрастающая линейная функция с угловым коэффициентом \( k = 1 \) и началом в точке \( y = -9 \) при \( x = 0 \). Чтобы узнать, при каких значениях \( m \) горизонтальная прямая \( y = m \) будет пересекать график функции в двух точках, нам нужно понять, в каких областях графика возможно такое количество пересечений. Это будет там, где график имеет максимум или минимум, или на участках, где график проходит через локальные экстремумы функции. Исходя из выражений функции, видим, что перегибов и экстремумов нет, так что нас интересуют участки возрастания и убывания функции - на них и будут пересечения. По сути, так как функция монотонна на каждом из участков, для того чтобы прямая \( y = m \) пересекала график в двух точках, она должна проходить между значениями, которые достигаются на границах интервалов для \( x = 1 \) и \( x = 4 \), так как именно там возможно "перескочить" с одного участка графика на другой. Опеределяем значения функции в этих точках: 1. Для \( x = 1 \): \[ y_1 = 4 * 1 - 5 = -1; \] \[ y_2 = -2,5 * 1 + 5 = 2,5. \] 2. Для \( x = 4 \): \[ y_2 = -2,5 * 4 + 5 = -5; \] \[ y_3 = 4 - 9 = -5. \] Итак, \( m \) должно находиться между значениями \( y_1 = -1 \) и \( y_2 = 2,5 \) для того, чтобы пересечь график в двух точках. Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки, если \( m \) будет лежать в интервале \( (-1, 2,5) \), то есть \( -1 < m < 2,5 \). Надеюсь, это поможет тебе с решением задания!