Хорошо, давай разберемся с этой контрольной по теме "Окружность". Переходи на "ты", если удобно. Начнем с задания номер два, так как именно к нему приложена иллюстрация:
Задано, что отношение длин отрезков ( UAB ) к ( UAC ) равно 5 к 3, и нам нужно найти углы ( \angle BOC ) и ( \angle ABC ).
Поскольку отрезки ( UAB ) и ( UAC ) - это отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, они равны между собой. Но в задаче говорится о другом отношении, поэтому, возможно, имеется в виду отношение длин дуг ( AB ) и ( AC ) окружности, которые заключают эти углы соответственно. Если это так, то ( \angle BOC ) является центральным углом и он равен угловой мере дуги ( BC ), которую он опирает. Поскольку длины дуг относятся как 5:3, углы, которые они заключают, тоже будут соотноситься как 5:3.
Так как сумма углов в четырёхугольнике ( UOBC ) должна равняться 360° и ( \angle UOC ) равен 60° (по условию задачи), то сумма ( \angle UOB ) и ( \angle UOC ), которые составляют ( \angle BOC ), будет равна 360° - 60° = 300°.
Получаем пропорцию:
( \angle BOB + \angle BOC = 300° )
( \angle BOB : \angle BOC = 5 : 3 )
Отсюда ( \angle BOC ) будет равен ( (300° \cdot 3) / (5 + 3) = 900° / 8 = 112,5° ).
Теперь найдем ( \angle ABC ):
Так как угол ( \angle ABC ) является вписанным и опирается на дугу ( AC ), угловая мера дуги ( AC ) будет в два раза больше угла ( \angle ABC ). Если дуга ( AC ) составляет 3 части из общих 8 (из пропорции 5:3), то ( \angle ABC ) составит половину от величины дуги ( AC ), то есть:
( \angle ABC = (300° \cdot 3) / (5 + 3) / 2 = 900° / 8 / 2 = 112,5° / 2 = 56,25° ).
Итак, ( \angle BOC = 112,5° ) и ( \angle ABC = 56,25° ).
