Реши контрольную

Хорошо, давай разберемся с этой контрольной по теме "Окружность". Переходи на "ты", если удобно. Начнем с задания номер два, так как именно к нему приложена иллюстрация: Задано, что отношение длин отрезков \( UAB \) к \( UAC \) равно 5 к 3, и нам нужно найти углы \( \angle BOC \) и \( \angle ABC \). Поскольку отрезки \( UAB \) и \( UAC \) - это отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, они равны между собой. Но в задаче говорится о другом отношении, поэтому, возможно, имеется в виду отношение длин дуг \( AB \) и \( AC \) окружности, которые заключают эти углы соответственно. Если это так, то \( \angle BOC \) является центральным углом и он равен угловой мере дуги \( BC \), которую он опирает. Поскольку длины дуг относятся как 5:3, углы, которые они заключают, тоже будут соотноситься как 5:3. Так как сумма углов в четырёхугольнике \( UOBC \) должна равняться 360° и \( \angle UOC \) равен 60° (по условию задачи), то сумма \( \angle UOB \) и \( \angle UOC \), которые составляют \( \angle BOC \), будет равна 360° - 60° = 300°. Получаем пропорцию: \( \angle BOB + \angle BOC = 300° \) \( \angle BOB : \angle BOC = 5 : 3 \) Отсюда \( \angle BOC \) будет равен \( (300° \cdot 3) / (5 + 3) = 900° / 8 = 112,5° \). Теперь найдем \( \angle ABC \): Так как угол \( \angle ABC \) является вписанным и опирается на дугу \( AC \), угловая мера дуги \( AC \) будет в два раза больше угла \( \angle ABC \). Если дуга \( AC \) составляет 3 части из общих 8 (из пропорции 5:3), то \( \angle ABC \) составит половину от величины дуги \( AC \), то есть: \( \angle ABC = (300° \cdot 3) / (5 + 3) / 2 = 900° / 8 / 2 = 112,5° / 2 = 56,25° \). Итак, \( \angle BOC = 112,5° \) и \( \angle ABC = 56,25° \).