Привет! Смотрю, ты занимаешься интегрированием. Давай попробуем разобраться с твоим интегралом вместе.
Ты уже начал преобразовывать интеграл, используя свойство логарифма: ( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c ). Выглядит правильно. Теперь давай продолжим с того места, где ты остановился.
Итак, у тебя есть интеграл функции ( \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x} \cdot \log_2(e^{\frac{x}{2}}) , dx ). Чтобы упростить задачу, можем использовать замену переменной. Пусть ( u = \frac{x}{2} ), тогда ( du = \frac{dx}{2} ) или ( dx = 2 du ).
С учетом этой замены переменной интеграл примет вид:
( \int \frac{e^u}{2u} \cdot \log_2(e^u) \cdot 2 , du ),
после упрощения мы получим:
( \int \frac{e^u}{u} \cdot \log_2(e) , du ).
Обрати внимание, что ( \log_2(e) ) - это константа, поэтому её можно вынести за знак интеграла. После этого у тебя останется интеграл вида ( \int \frac{e^u}{u} , du ), который является интегралом от экспоненты, делённой на переменную.
Этот интеграл не выражается в элементарных функциях и является специальной функцией, называемой интегральной экспонентой ( Ei(x) ). Следовательно, итоговый ответ будет:
( \log_2(e) \cdot Ei(u) + C ),
где ( C ) — константа интегрирования.
Не забудь выразить ответ через исходную переменную ( x ):
( \log_2(e) \cdot Ei\left(\frac{x}{2}\right) + C ).
Теперь ты можешь записать ответ в своих черновиках. Удачи с математикой!
