Найти интеграл
Привет! Давай вместе разберемся с этим интегралом.
Первое, что нам нужно сделать – это упростить подынтегральное выражение. Раскроем скобки в выражении \((x + \frac{1}{x})^2\).
Это даст нам: \(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\). Упростим это выражение: \(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\).
Теперь наш интеграл примет вид: \(\int (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) dx\), где интегрирование происходит от 1 до 2.
По правилу линейности интеграла это то же самое, что найти интегралы от каждого слагаемого отдельно и взять сумму результатов.
Интегрируем каждое слагаемое:
- Для \(x^2\), применяем формулу интегрирования степенной функции, получаем \(\frac{1}{3}x^3\).
- Константа 2 интегрируется как \(2x\).
- Для \(1/x^2\), мы имеем \(-1/x\).
Подставляем пределы интегрирования 1 и 2 и получаем:
- \(\frac{1}{3}x^3|_1^2 = \frac{1}{3}(2^3 - 1^3) = \frac{1}{3}(8 - 1) = \frac{7}{3}\)
- \(2x|_1^2 = 2(2 - 1) = 2\)
- \(-1/x|_1^2 = -1/2 - (-1/1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\)
Сложим результаты: \(\frac{7}{3} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{3} + \frac{6}{3} + \frac{3}{6} = \frac{13}{3} + \frac{1}{2}\)
Теперь приведем к общему знаменателю и сложим: \(\frac{13 \cdot 2}{6} + \frac{1 \cdot 3}{6} = \frac{26}{6} + \frac{3}{6} = \frac{29}{6}\)
Итак, значение интеграла равно \(\frac{29}{6}\). Надеюсь, это поможет тебе с задачей! Если есть еще вопросы – обращайся.
