Привет! Давай вместе разберемся с этим интегралом.
Первое, что нам нужно сделать – это упростить подынтегральное выражение. Раскроем скобки в выражении ((x + \frac{1}{x})^2).
Это даст нам: (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}). Упростим это выражение: (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}).
Теперь наш интеграл примет вид: (\int (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) dx), где интегрирование происходит от 1 до 2.
По правилу линейности интеграла это то же самое, что найти интегралы от каждого слагаемого отдельно и взять сумму результатов.
Интегрируем каждое слагаемое:
- Для (x^2), применяем формулу интегрирования степенной функции, получаем (\frac{1}{3}x^3).
- Константа 2 интегрируется как (2x).
- Для (1/x^2), мы имеем (-1/x).
Подставляем пределы интегрирования 1 и 2 и получаем:
- (\frac{1}{3}x^3|_1^2 = \frac{1}{3}(2^3 - 1^3) = \frac{1}{3}(8 - 1) = \frac{7}{3})
- (2x|_1^2 = 2(2 - 1) = 2)
- (-1/x|_1^2 = -1/2 - (-1/1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2})
Сложим результаты:
(\frac{7}{3} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{3} + \frac{6}{3} + \frac{3}{6} = \frac{13}{3} + \frac{1}{2})
Теперь приведем к общему знаменателю и сложим:
(\frac{13 \cdot 2}{6} + \frac{1 \cdot 3}{6} = \frac{26}{6} + \frac{3}{6} = \frac{29}{6})
Итак, значение интеграла равно (\frac{29}{6}). Надеюсь, это поможет тебе с задачей! Если есть еще вопросы – обращайся.
