найти интеграл
Привет! Давай разберёмся с интегралами, что на картинке.
Здесь у нас четыре определенных интеграла. Определенный интеграл – это число, которое показывает накопленное изменение функции на определенном интервале. Для его нахождения надо взять первообразную от функции и вычислить разность значений первообразной по верхнему и нижнему пределам интегрирования.
Пройдемся по каждому пункту:
\( \int_{-2}^{5} 3\,dx \): Для константы c первообразная будет cx. В нашем случае первообразная от функции 3 – это \(3x\), так что подставляем пределы: \(3(5) - 3(-2) = 15 + 6 = 21\).
\( \int_{-5}^{0} (3x - 5)\,dx \): Чтобы найти первообразную для \(3x - 5\), нужно взять первообразную от каждого члена отдельно. Первообразная от 3x – это \( \frac{3}{2}x^2 \), а от -5 – это -5x. Теперь подставим пределы: \( \frac{3}{2}0^2 - 5 \cdot 0 - (\frac{3}{2}(-5)^2 - 5 \cdot (-5)) = 0 - ( \frac{3}{2} \cdot 25 + 25) = -\frac{75}{2} - 25 = -\frac{125}{2} \).
\( \int_{-1}^{5} (2x^2 - 7)\,dx \): Первообразная от \(2x^2\) будет \( \frac{2}{3}x^3 \), а первообразная от \(-7\) – это \(-7x\). Тогда подставляем пределы: \( \frac{2}{3}5^3 - 7 \cdot 5 - (\frac{2}{3}(-1)^3 - 7 \cdot (-1)) = \frac{250}{3} - 35 + \frac{2}{3} + 7 = \frac{250}{3} - \frac{105}{3} + \frac{2}{3} + \frac{21}{3} = \frac{168}{3} \).
\( \int_{1}^{4} (8x - 3)\,dx \): Первообразная от \(8x\) – это \(4x^2\), а от \(-3\) – это \(-3x\). Подставляем пределы: \( 4 \cdot 4^2 - 3 \cdot 4 - (4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1) = 64 - 12 - (4 - 3) = 52 - 1 = 51 \).
Вот такой способ решения определенных интегралов. Если есть еще вопросы по решению, спрашивай!
