Высоты АА1 и ВС, треугольника АВС пересекаются в точке Н. Точки Х и Y - середины отрезков АВ и СН соответственно. Докажите, что прямые XY и А1B1, пересекаясь, образуют угол в 90°.

Доказательство того, что прямые XY и А1B1 образуют угол в 90°, основано на свойствах треугольников и серединных перпендикуляров. Итак, построим вспомогательные отрезки. Так как Х и Y - середины отрезков АВ и СН соответственно, то XY || BC и XY = 1/2BC. Точка Н является точкой пересечения высот треугольника ABC, поэтому AH⊥BC и CH⊥AB. Также, в прямоугольном треугольнике AHС угол HAC = 90°, т.е. AH⊥СН. Рассмотрим треугольники AHС и CHB, где AH = CH (высоты равны), AC = BC (общая сторона), углы HAC и CHB = 90°, следовательно, треугольники AHС и CHB равнобедренные. Тогда, из равнобедренности следует, что ХН = YН. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ХNY и А1B1С. Угол NYH = 90° (так как Х и Y - середины AB и HC соответственно), угол ХNH = YNH (получили равные стороны), угол HYA1 = 90° (AH⊥СН), угол HAY = 90° (диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом). Из данных свойств и построений следует, что угол ХYА1 равен 90°. Таким образом, прямые XY и А1B1, пересекаясь, образуют угол в 90°. Надеюсь, это доказательство поможет вам лучше понять данное утверждение. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать. Успехов в учебе!