Для решения данной системы уравнений методом Гаусса нам следует последовательно преобразовывать матрицу коэффициентов таким образом, чтобы привести её к ступенчатому виду и затем к диагональному виду.
Итак, начнем. Дана система уравнений:
- 2x₁ - x₂ + 2x₃ = 3
- x₁ + x₂ + 2x₃ = -4
- 4x₁ + x₂ + 4x₃ = -3
Принимая эти уравнения, составим расширенную матрицу коэффициентов:
[2 -1 2 | 3]
[1 1 2 | -4]
[4 1 4 | -3]
Теперь приступим к преобразованиям. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 0.5, чтобы избавиться от переменной x₁:
[2 -1 2 | 3]
[0 1 1 | -2.5]
[4 1 4 | -3]
Далее вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2, чтобы обнулить x₁ в третьем уравнении:
[2 -1 2 | 3]
[0 1 1 | -2.5]
[0 3 0 | -9]
Теперь выразим x₃ из третьего уравнения: x₃ = -3. Подставим это обратно во второе уравнение и найдем x₂: x₂ = -1.5. И, наконец, подставим x₂ и x₃ в первое уравнение, чтобы найти x₁: x₁ = 2.5.
Таким образом, решение данной системы методом Гаусса: x₁ = 2.5, x₂ = -1.5, x₃ = -3.
