Конечно, давайте решим данную систему неравенств. Давайте начнем с первого неравенства: \( x(x+5) > 0 \). Чтобы найти решение этого неравенства, давайте определим интервалы, в которых это неравенство выполняется.
1. Решим неравенство \( x(x+5) > 0 \):
Для начала найдем точки, в которых левая часть равна нулю. У нас это случается при \( x = 0 \) и \( x = -5 \). Теперь построим интервалы \(-\infty, -5\), \(-5, 0\), и \(0, +\infty\), и выберем произвольное значение в каждом интервале для проверки.
- Возьмем \( x = -6 \) (интервал \(-\infty, -5\)): \((-6)\times((-6)+5) = (-6)\times(-1) = 6 > 0 \) - условие выполняется.
- Возьмем \( x = -3 \) (интервал \(-5, 0\)): \((-3)\times((-3)+5) = (-3)\times(2) = -6 < 0 \) - условие не выполняется.
- Возьмем \( x = 1 \) (интервал \(0, +\infty\)): \(1 \times (1+5) = 1 \times 6 = 6 > 0\) - условие выполняется.
Таким образом, решение первого неравенства - \( x < -5 \) или \( x > 0 \).
2. Перейдем ко второму неравенству: \( (x-2)(x+2) < 0 \). Здесь нам нужно найти интервалы, где это неравенство выполнено.
Для начала найдем точки, в которых левая часть равна нулю. Эти точки равны \( x = 2 \) и \( x = -2 \). Теперь построим интервалы \(-\infty, -2\), \(-2, 2\), и \(2, +\infty\), и снова выберем произвольное значение для проверки.
- Возьмем \( x = -3 \) (интервал \(-\infty, -2\)): \((-3-2) \times (-3+2) = (-5) \times (-1) = 5 > 0 \) - условие не выполняется.
- Возьмем \( x = 0 \) (интервал \(-2, 2\)): \((0-2) \times (0+2) = (-2) \times 2 = -4 < 0 \) - условие выполняется.
- Возьмем \( x = 3 \) (интервал \(2, +\infty\)): \((3-2) \times (3+2) = (1) \times 5 = 5 > 0 \) - условие не выполняется.
Решение второго неравенства - \(-2 < x < 2\).
Итак, оба неравенства решены, и решение системы неравенств будет сочетанием полученных решений: \( x < -5 \) или \( x > 0 \) и \(-2 < x < 2\).
