Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. с рисунком

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую ситуацию: пусть у нас есть прямая \( l \) и точка \( A \), находящаяся на расстоянии \( d \) от прямой \( l \) и лежащая по определенную сторону от нее.

Теперь, предположим, что у нас есть еще одна точка \( B \), также находящаяся на расстоянии \( d \) от прямой \( l \) и лежащая по ту же сторону, что и точка \( A \). Если мы соединим точки \( A \) и \( B \) с прямой линией, то получим отрезок, который будет перпендикулярен к прямой \( l \) и равен \( d \). Это происходит потому, что все точки на прямой, проходящей через точку \( A \) перпендикулярно к прямой \( l \), находятся на расстоянии \( d \) от прямой \( l \).

Таким образом, можно увидеть, что множество всех точек, удовлетворяющих условиям задачи, образует прямую, которая параллельна данной прямой \( l \). Надеюсь, это объяснение помогло в понимании данного математического факта.