Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. с рисунком

Для доказательства данного утверждения предлагаю рассмотреть следующую ситуацию:

Пусть у нас есть данная прямая (обозначим её как l) и точка A вне этой прямой на расстоянии r от неё. Рассмотрим произвольную точку B, лежащую на прямой l, такую, что расстояние от точки B до прямой l равно r. Теперь нарисуем окружность с центром в точке A и радиусом r. Поскольку все точки этой окружности находятся на расстоянии r от прямой l и лежат по одну сторону от неё (вне основания перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l), то эти точки образуют прямую, параллельную прямой l.

Таким образом, множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, действительно представляет собой прямую, параллельную данной прямой.

Надеюсь, данное объяснение было полезным и понятным. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.