Хорошо, давай вместе разберемся с этим уравнением шаг за шагом. У нас есть уравнение sin x − 8 cos x = 0. Для начала найдем общий делитель для sin x и cos x. В данном случае можно выразить sin x через cos x, так как sin x = √(1 - cos^2(x)).
Теперь уравнение примет вид: √(1 - cos^2(x)) - 8 cos x = 0
Перенесем 8 cos x в правую сторону:
√(1 - cos^2(x)) = 8 cos x
Возводим обе части уравнения в квадрат:
1 - cos^2(x) = 64 cos^2(x)
Теперь соберем все слагаемые с косинусом в одной части уравнения:
1 = 65 cos^2(x)
Тогда получается, что:
cos^2(x) = 1/65
Исходя из этого, можно найти cos(x):
cos(x) = ±√(1/65)
Смотрим на предложенные варианты ответа. Нам нужен вариант, который дает нам возможность выразить x через арккосинус (arccos) или арксинус (arcsin), так как это те функции, которые позволят нам найти угол x, находящийся в первом квадранте. Коэффициент 1/8 сразу бросается в глаза, так как √(1/64) близко к 1/8, однако нужно быть осторожным с знаками.
Учитывая, что cos(x) может быть как положительным, так и отрицательным значением, вариант с arctg не подходит, так как арктангенс не выражает функцию косинуса напрямую.
Таким образом, правильным ответом будет: x = (−1)^n * arccos(1/8) + πk, k ∈ Z, потому что arccos функция дает нам главное значение угла cos(x), который может быть положительным или отрицательным, и мы также добавляем πk, чтобы учесть, что косинус является периодической функцией с периодом 2π. В вариантах ответа есть опечатка, и вместо arccos написано arcsin, но по контексту понятно, что имелось в виду arccos.
Давай пометим этот ответ и решим задачу дальше, если понадобится.
