Прямая, параллельная стороне 𝐴 𝐶 AC треугольника 𝐴 𝐵 𝐶 ABC , пересекает стороны 𝐴 𝐵 AB и 𝐵 𝐶 BC в точках 𝑀 M и 𝑁 N соответственно. Найдите 𝐵 𝑁 BN , если 𝑀 𝑁 = 18 MN=18 , 𝐴 𝐶 = 54 AC=54 и 𝑁 𝐶 = 42 NC=42 .

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Талеса. Так как прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\), то по теореме Талеса отрезок \(BN\) будет пропорционален отрезкам \(AM\) и \(MC\). Итак, у нас дано, что \(МN = 18\), \(AC = 54\) и \(NC = 42\). Теперь подсчитаем отношение \(MN\) к \(AC\): \[\frac{MN}{AC} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}\] Так как мы знаем, что \(MC = AC - NC = 54 - 42 = 12\), то \(MN\) равен \(\frac{1}{3}\) от \(AC\), а, следовательно, \(AM = 18 - 12 = 6\). Так как треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(MCN\), то отношение сторон \(MN\) к \(NC\) равно отношению соответствующих сторон треугольников. Поэтому: \[\frac{BN}{BC} = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}\] Наконец, мы можем найти длину \(BN\): \[BN = \frac{1}{9} \times BC = \frac{1}{9} \times (AC - MC) = \frac{1}{9} \times (54 - 12) = \frac{1}{9} \times 42 = 4.67\] Итак, \(BN = 4.67\).