2.В окружности с центром О, диаметр за По AD проходит через середину хорды КЅ. Найдите все внутренние углы ДКАМ, если МКА на 140 больше 4 КАМ

В данной задаче, поскольку $AD$ --- диаметр окружности, угол $\angle DАК$ будет прямым углом, так как он опирается на диаметр и лежит на окружности. Из условия известно, что угол $\angle МКА$ на $140$ больше угла $\angle КАМ$. Обозначим угол $\angle КАМ$ за $\alpha$. Тогда угол $\angle МКА = \alpha + 140$. Также, поскольку $КS$ --- серединный перпендикуляр к хорде $AD$, угол $\angle КСА$ также равен $\alpha$. Теперь рассмотрим две хорды: $AD$ и $KS$. Угол, заключенный между двумя хордами, равен половине разности углов, соответствующих тем же дугам в окружности. Таким образом, $$\angle DКА = \frac{(\angle DМК - \angle КМА)}{2} = \frac{(180 - \angle КМА - (\angle КМА + 140))}{2} = \frac{(40 - 2\alpha)}{2} = 20 - \alpha.$$ Теперь, у нас есть $\angle КАМ = \alpha$ и $\angle DКА = 20 - \alpha$. Также, $\angle DАК = 90^\circ$ (по свойству диаметра). Наконец, чтобы найти угол $\angle M$, рассмотрим треугольник $MDК$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, так что $$\angle M = 180 - (\angle DМК + \angle DКА) = 180 - (140 + 20 - \alpha) = 180 - 160 + \alpha = 20 + \alpha.$$