Даны окружность, то A, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку M на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Для решения данной задачи сначала проведите отрезок PQ, затем из точки A проведите луч, пересекающий окружность в точках M и N. Теперь, найдите середину отрезка MN, обозначим её как O. Точка O будет центром окружности, вписанной в треугольник AMN, так как она находится на перпендикуляре, опущенном из вершины треугольника на сторону, деление которой пополам. Таким образом, проведите окружность с центром в точке O и радиусом OM (равным половине отрезка MN). Точка M, где эта окружность пересечёт исходную окружность, будет искомой точкой, для которой AM = PQ. Ответ на вопрос, всегда ли задача имеет решение, зависит от взаимного расположения точек A, P и Q. Если расстояние между точками A и PQ больше, чем диаметр окружности, то задача не имеет решения. В остальных случаях решение возможно.