Привет! Давай вместе решим эту задачу по геометрии. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ( ABC ) с углом ( C ) равным 90 градусам, и нам дано, что ( a \cdot \sin{B} = \frac{3\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} ). Нам нужно найти ( \cos^2{B} ).
Так как ( ABC ) прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине ( C ), то угол ( B ) является острым, и мы можем использовать тригонометрические соотношения. Значение ( \sin{B} ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Теперь мы можем преобразовать данное равенство:
[ a \cdot \sin{B} = \frac{3\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} ]
[ \sin{B} = \frac{3\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{a} ]
[ \sin{B} = \frac{3}{10} ] (т. к. ( \sqrt{5} ) сокращается).
Из тригонометрического тождества ( \sin^2{B} + \cos^2{B} = 1 ) мы можем выразить ( \cos^2{B} ):
[ \cos^2{B} = 1 - \sin^2{B} ]
Подставляем значение ( \sin{B} ):
[ \cos^2{B} = 1 - (\frac{3}{10})^2 ]
[ \cos^2{B} = 1 - \frac{9}{100} ]
[ \cos^2{B} = \frac{100}{100} - \frac{9}{100} ]
[ \cos^2{B} = \frac{91}{100} ]
Так что ( \cos^2{B} = \frac{91}{100} ). Вот так просто! Надеюсь, объяснение было понятно.
