решить

Привет! Давай вместе решим эту задачу по геометрии. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с углом \( C \) равным 90 градусам, и нам дано, что \( a \cdot \sin{B} = \frac{3\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} \). Нам нужно найти \( \cos^2{B} \). Так как \( ABC \) прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \( C \), то угол \( B \) является острым, и мы можем использовать тригонометрические соотношения. Значение \( \sin{B} \) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Теперь мы можем преобразовать данное равенство: \[ a \cdot \sin{B} = \frac{3\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} \] \[ \sin{B} = \frac{3\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{a} \] \[ \sin{B} = \frac{3}{10} \] (т. к. \( \sqrt{5} \) сокращается). Из тригонометрического тождества \( \sin^2{B} + \cos^2{B} = 1 \) мы можем выразить \( \cos^2{B} \): \[ \cos^2{B} = 1 - \sin^2{B} \] Подставляем значение \( \sin{B} \): \[ \cos^2{B} = 1 - (\frac{3}{10})^2 \] \[ \cos^2{B} = 1 - \frac{9}{100} \] \[ \cos^2{B} = \frac{100}{100} - \frac{9}{100} \] \[ \cos^2{B} = \frac{91}{100} \] Так что \( \cos^2{B} = \frac{91}{100} \). Вот так просто! Надеюсь, объяснение было понятно.