1. На окружности с центром О и диаметром АВ, рав- ным 4, взята точка М, расположенная ближе к точке А, чем к точке В. Через точку М проведена касательная к окружности, а через точки А и В — лучи, перпендикуляр- ные к АВ и пересекающие касательную в точках D и С со- ответственно, DCB = 60°. а)° Найдите углы ОСВ, ADС, ODC. б)° Найдите отрезки АD и СВ. в)° Найдите площадь четырехугольника ABCD. г)° Найдите углы четырехугольника МОВС, д)° Докажите, что треугольники АОД и СОВ по- добны.

На данный вопрос есть несколько частей, давайте рассмотрим их по очереди. а) 1. Угол ОСВ: Угол ОСВ может быть найден как половина центрального угла, соответствующего дуге, на которую он опирается. Так как AD — диаметр, а ∠DCB = 60°, следовательно, ∠DOB = 120°. Таким образом, угол ОСВ равен половине центрального угла, то есть 60°. 2. Угол ADС: Угол ADС — это угол, образованный хордой DC и касающейся прямой AC. Так как хорда DC соответствует углу в центре, то ∠ADC = 120°. Следовательно, угол ADС равен половине этого угла, то есть 60°. 3. Угол ODC: Угол ODC — это вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Так как угол вписанный, то ∠ODC = 30°, так как DCB = 60°. б) 1. Найдем отрезки AD и СB: Треугольник AOD и COD равнобедренные (катеты), так как они опираются на радиус и диаметр. Следовательно, AD = OD = 2, CB = 2 по радиусу окружности. в) 1. Площадь ABCD: Площадь четырехугольника ABCD может быть найдена как сумма площадей двух равнобедренных треугольников AOD и COD, умноженных на sin 60° (так как sin 60° = √3 / 2). Получаем S(ABCD) = 2√3. г) 1. Углы четырехугольника MOVS: Учитывая, что MO и MV — касательные, мы имеем углы OMB и OMB, которые являются прямыми. Таким образом, ∠MOS = ∠MVS = 90°, тогда ∠MOВ = ∠MSВ = 90°, так как MV и MS — касательные. д) 1. Докажем подобие треугольников AOD и SOV: Для этого можно заметить, что ∠AOD = 2∠SOD, так как это центральный угол и вписанный угол, а также ∠AOD = ∠SVO = 90°, так как AO и SO — радиусы. Следовательно, треугольники AOD и SOV подобны по признаку углов.