Дайте развернутый ответ. На ребре АА1 прямоугольного паралелепипеда ABCDA,B,C,D, взята точка Е так, что А1Е: ЕА = 1 : 2, на ребре ВВ1 - — точка F так, что B,F : РВ = 1 : 5, а точка I — середина ребра В, С1. Известно, что АВ = 2, AD = 6, 4A1 = 6. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1• б) Найдите угол между плоскостью ЕЕТ и плоскостью АА, В1.

Для начала разберемся с заданными отрезками и с исходными данными. Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны: AB = a, BC = b, AD = c. Из условия задачи у нас имеются следующие данные: AB = a = 2 AD = c = 6 AA1 = AA' = h1 = 6/4 = 3/2 на ребре AA1 взята точка Е так, что А1Е:ЕА = 1:2, что означает, что AE = 1/3*AA1 и A1E = 2/3*AA1. Тогда AE = 1, A1E = 2. на ребре ВВ1 - — точка F так, что B,F: FB = 1:5, что означает, что BF = 1/6*BB1 и FB = 5/6*BB1. Тогда BF = 1, FB = 5. точка I — середина ребра В, С1. Это означает, что IB = IC1. Теперь докажем, что плоскость EFT проходит через вершину D1. Так как А1ЕЕ ребро параллелепипеда, а прямая ЕF проходит через вершину A1 и перпендикулярна его ребру, значит плоскость ЕFT будет содержать прямую ЕF. Также из условия задачи мы имеем, что прямая BF делит ребро BC в отношении 1: 5, поэтому она также будет делить все грани параллелепипеда в таком же отношении, включая грань BCD. Отсюда следует, что прямая FD1, пересекая плоскость BCDD1 под углом 90 градусов, также пройдет через вершину D1 параллелепипеда и потому плоскость EDT будет проходить через вершину D Чтобы найти угол между плоскостью ЕЕТ и плоскостью АА,В1, можно воспользоваться скалярным произведением нормалей этих плоскостей. Нормали к плоскостям ЕFT имеют направляющие векторы: n1 = (EF x ET) / |EF x ET| n2 = (EA1 x AB1) / |EA1 x AB1| n1 = ((E-F) x (E-T)) / |(E-F) x (E-T)| = (E-F) x (T-E) = -(-1,5,-1,5,2-2) = -3,0,0 n\i n1 = sqrt(9+0+0)= +/-3 n1 = -1,0,0 // берем нормаль именно внутрь n2= (E-A1) x (B-B1) = (0,-3,0) x (2,0,0) = 0,0,-6 n|n| = 6 Угол между нормалями: cos(угол) = (n1,n2) /(n1 *n2) = - n2 = 0/6 = 0 Угол между плоскостями - 90 градусов.