вычислить интеграл: arctg корень 5x-1dx

Чтобы вычислить интеграл вида

\[ \int \arctan(\sqrt{5x - 1}) \, dx, \]

можно использовать метод интегрирования методом интегрирования по частям. Обозначим:

• \( u = \arctan(\sqrt{5x - 1}) \)
• \( dv = dx \)

Тогда найдем производные:

• \( du = \frac{1}{1 + (\sqrt{5x - 1})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{5x - 1}} \cdot 5 \, dx = \frac{5}{2(5x - 1 + 1)\sqrt{5x - 1}} \, dx = \frac{5}{2(5x)\sqrt{5x - 1}} \, dx \)

Таким образом, \( du = \frac{5}{10x \sqrt{5x - 1}} \, dx \).

Теперь интегрируем вторую часть:

\[ v = x. \]

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]

Подставляем:

\[ \int \arctan(\sqrt{5x - 1}) \, dx = x \arctan(\sqrt{5x - 1}) - \int x \cdot \frac{5}{10x \sqrt{5x - 1}} \, dx. \]

Упрощаем:

\[ \int x \cdot \frac{5}{10x \sqrt{5x - 1}} \, dx = \int \frac{5}{10 \sqrt{5x - 1}} \, dx = \int \frac{1}{2 \sqrt{5x - 1}} \, dx. \]

Этот интеграл можно вычислить с помощью подстановки \( t = \sqrt{5x - 1} \), тогда \( dt = \frac{5}{2\sqrt{5x - 1}} \, dx \) и \( dx = \frac{2}{5} t \).

Подводим итоги:

Таким образом, конечным результатом будет:

\[ \int \arctan(\sqrt{5x - 1}) \, dx = x \arctan(\sqrt{5x - 1}) - C + \text{порядок интегрирования}. \]

Не забудьте добавить константу интегрирования \( C \). Разбираясь с интегралом, рекомендую перепроверить вычисления и дополнить интеграл, если это необходимо, так как конечная форма может быть упрощена.