Для нахождения длины катета, лежащего напротив угла в 30°, можно воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника определяется как:
[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов.
Поскольку один из острых углов треугольника равен 30°, мы можем сделать вывод, что катет, лежащий напротив этого угла (обозначим его как ( a )), будет равен половине длины гипотенузы ( c ):
[ a = \frac{c}{2} ]
Другой катет (обозначим его как ( b )) будет соответствовать углу 60°, и его длина может быть найдена по формуле:
[ b = a \cdot \sqrt{3} ]
Теперь мы можем подставить выражение для ( c ) в формулу площади:
[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} ]
Мы знаем, что площадь ( S = 800\sqrt{3} ), поэтому можем приравнять:
[ \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 800\sqrt{3} ]
После деления обеих сторон на ( \sqrt{3} ) и умножения на 2 получаем:
[ a^2 = 1600 ]
Теперь найдем ( a ), извлекая квадратный корень:
[ a = \sqrt{1600} = 40 ]
Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла в 30°, составляет 40.
