В прямоугольный треугольник со сторонами 3 , 4 , 5 вписана окружность с центром I . Найдите расстояние от точки I до медианы, проведённой к гипотенузе треугольника.
В прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5, мы имеем следующие данные:
Параметры треугольника: \( a = 3 \), \( b = 4 \) и \( c = 5 \) (где \( c \) – гипотенуза).
Найдем радиус вписанной окружности \( r \). Радиус \( r \) в прямоугольном треугольнике можно вычислить по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Подставим значения: \[ r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь найдем координаты точки \( I \) (центра окружности). Для этого воспользуемся формулой: \[ I\left(\frac{a \cdot A_x + b \cdot B_x + c \cdot C_x}{a + b + c}, \frac{a \cdot A_y + b \cdot B_y + c \cdot C_y}{a + b + c}\right) \] Если поместить треугольник в координатной плоскости так, что точка \( A(0, 0) \), \( B(3, 0) \) и \( C(3, 4) \), то:
- \( A_x = 0, A_y = 0 \)
- \( B_x = 3, B_y = 0 \)
- \( C_x = 3, C_y = 4 \)
Подставляя значения: \[ I_x = \frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3}{3 + 4 + 5} = \frac{0 + 12 + 15}{12} = \frac{27}{12} = 2.25 \] \[ I_y = \frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 4}{3 + 4 + 5} = \frac{0 + 0 + 20}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \] Таким образом, \( I \approx (2.25, 1.67) \).
Теперь найдем уравнение медианы, проведенной к гипотенузе. Гипотенуза соединяет точки \( B(3, 0) \) и \( C(3, 4) \). Средняя точка \( M \) гипотенузы: \[ M = \left(\frac{3 + 3}{2}, \frac{0 + 4}{2}\right) = (3, 2) \]
Уравнение медианы \( AM \) можно выразить через наклон \( k \): Наклон между точками \( A(0, 0) \) и \( M(3, 2) \): \[ k = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3} \] Уравнение линии, проходящей через точку \( A(0, 0) \): \[ y = \frac{2}{3}x \Rightarrow 2x - 3y = 0 \]
Теперь найдем расстояние от точки \( I(2.25, 1.67) \) до линии \( 2x - 3y = 0 \) по формуле расстояния от точки до линии: \[ \text{Расстояние} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \( A = 2, B = -3, C = 0 \) и \( (x_0, y_0) = (2.25, 1.67) \): \[ \text{Расстояние} = \frac{|2 \cdot 2.25 - 3 \cdot 1.67 + 0|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4.5 - 5.01|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{| -0.51|}{\sqrt{13}} \approx \frac{0.51}{3.605} \approx 0.141 \]
Таким образом, расстояние от точки \( I \) до медианы, проведенной к гипотенузе треугольника, приближенно равно 0.141.
