Проекция катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 9 см и 16 см. Найти катеты треугольника

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, когда известны проекции катетов на гипотенузу, мы можем воспользоваться теорией тригонометрии. Обозначим: - \( a \) — один катет - \( b \) — второй катет - \( c \) — гипотенуза Согласно условию, проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см. Это означает, что: - Проекция катета \( a \) на гипотенузу \( c \) равна 9 см. - Проекция катета \( b \) на гипотенузу \( c \) равна 16 см. Согласно свойствам прямоугольного треугольника, проекции катетов на гипотенузу можно выразить через углы и длины катетов: \[ a \cdot \cos(α) = 9 \] \[ b \cdot \cos(β) = 16 \] Где \( α \) и \( β \) — это углы, соответствующие катетам \( a \) и \( b \). Тем не менее, можно использовать более простой подход, зная, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Теперь зная проекции и используя теорему о проекциях: \[ \frac{a}{c} = \frac{9}{c}, \quad \frac{b}{c} = \frac{16}{c} \] Пусть \( c \) — длина гипотенузы. Тогда используя теорему Пифагора и соединяя эти два уравнения, получаем: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Для нахождения \( c \) используем формулу: \[ c^2 = (9^2 + 16^2) \] \[ c^2 = 81 + 256 \] \[ c^2 = 337 \] \[ c = \sqrt{337} \] Теперь можем найти длины катетов: 1. Для \( a \): \[ a = c \cdot \frac{9}{c} = 9 \] 2. Для \( b \): \[ b = c \cdot \frac{16}{c} = 16 \] Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 16 см.