Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5, 7, а четвёртый угол равен их полусумме. является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Для решения задачи начнём с определения углов четырёхугольника. Обозначим три угла, которые пропорциональны числам 4, 5 и 7, через \( 4x, 5x \) и \( 7x \), где \( x \) — некоторый коэффициент пропорциональности. Четвёртый угол обозначим как \( y \). Согласно условию задачи, четвёртый угол равен полусумме первых трёх углов, то есть: \[ y = \frac{4x + 5x + 7x}{2} = \frac{16x}{2} = 8x. \] Теперь сумма всех углов четырёхугольника должна равняться \( 360^\circ \): \[ 4x + 5x + 7x + y = 360^\circ. \] Подставим \( y \): \[ 4x + 5x + 7x + 8x = 360^\circ. \] Это уравнение можно упростить: \[ 24x = 360^\circ \] Теперь решим его для \( x \): \[ x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ. \] Теперь мы можем найти каждый угол: 1. \( 4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ \) 2. \( 5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ \) 3. \( 7x = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ \) 4. \( y = 8x = 8 \cdot 15^\circ = 120^\circ \) Таким образом, углы четырёхугольника составляют: \( 60^\circ, 75^\circ, 105^\circ \) и \( 120^\circ \). Теперь проверим, является ли этот четырёхугольник выпуклым. Четырёхугольник считается выпуклым, если все его углы меньше \( 180^\circ \). В данном случае: - \( 60^\circ \) — меньше \( 180^\circ \) - \( 75^\circ \) — меньше \( 180^\circ \) - \( 105^\circ \) — меньше \( 180^\circ \) - \( 120^\circ \) — меньше \( 180^\circ \) Так как все углы меньше \( 180^\circ \), можно сделать вывод, что данный четырёхугольник является выпуклым.