1 Два велосипедиста одновременно отправляются B 180- километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго.…

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

Задача 1

У нас есть два велосипедиста, которые стартуют одновременно и проезжают 180 километров. Обозначим скорость второго велосипедиста как \( v \) км/ч. Следовательно, скорость первого велосипедиста будет \( v + 5 \) км/ч.

Они проезжают одно и то же расстояние, но первый велосипедист приходит на 3 часа раньше второго.

Мы можем выразить время, которое они тратят на поездку. Время можно найти по формуле: \[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]

Для второго велосипедиста: \[ t_2 = \frac{180}{v} \]

Для первого велосипедиста: \[ t_1 = \frac{180}{v + 5} \]

Согласно заданию, первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше, поэтому: \[ t_2 - t_1 = 3 \]

Теперь подставим значения: \[ \frac{180}{v} - \frac{180}{v+5} = 3 \]

Умножим обе части уравнения на \( v(v + 5) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 180(v + 5) - 180v = 3v(v + 5) \]

Упростим: \[ 180 \cdot 5 = 3v^2 + 15v \] \[ 900 = 3v^2 + 15v \] \[ 3v^2 + 15v - 900 = 0 \]

Разделим все на 3 для удобства: \[ v^2 + 5v - 300 = 0 \]

Теперь применим формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 35}{2} \]

Мы получим два значения:

1. \( v = \frac{30}{2} = 15 \) (это скорость второго велосипедиста)
2. \( v = \frac{-40}{2} = -20 \) (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость второго велосипедиста равна 15 км/ч.

Задача 2

В этой задаче у нас есть две трубы. Обозначим скорость заполнения первой трубы как \( x \) литров в минуту, тогда скорость заполнения второй трубы будет \( x + 2 \) литра в минуту.

Резервуар объемом 130 литров заполняется второй трубой на 4 минуты быстрее, чем резервуар объемом 136 литров первой трубой.

Время заполнения первой трубы: \[ t_1 = \frac{136}{x} \]

Время заполнения второй трубы: \[ t_2 = \frac{130}{x + 2} \]

Согласно условию, первая труба заполняется на 4 минуты дольше, чем вторая: \[ t_1 - t_2 = 4 \]

Подставим значения: \[ \frac{136}{x} - \frac{130}{x + 2} = 4 \]

Умножаем обе части на \( x(x + 2) \): \[ 136(x + 2) - 130x = 4x(x + 2) \]

Упрощаем уравнение: \[ 136x + 272 - 130x = 4x^2 + 8x \] \[ 6x + 272 = 4x^2 + 8x \] \[ 4x^2 + 2x - 272 = 0 \]

Применим формулу дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-272) = 4 + 4352 = 4356 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4356}}{2 \cdot 4} \]

Решая это, мы найдем два значения, но только положительное имеет смысл: \[ \sqrt{4356} = 66, \] \[ x = \frac{-2 + 66}{8} = \frac{64}{8} = 8. \]

Таким образом, скорость второй трубы: \[ x + 2 = 8 + 2 = 10 \text{литров в минуту.} \]

Итак, вторая труба пропускает 10 литров воды в минуту.