Давайте разберем оба вопроса по порядку.
Задача 1
У нас есть два велосипедиста, которые стартуют одновременно и проезжают 180 километров. Обозначим скорость второго велосипедиста как ( v ) км/ч. Следовательно, скорость первого велосипедиста будет ( v + 5 ) км/ч.
Они проезжают одно и то же расстояние, но первый велосипедист приходит на 3 часа раньше второго.
Мы можем выразить время, которое они тратят на поездку. Время можно найти по формуле:
[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ]
Для второго велосипедиста:
[ t_2 = \frac{180}{v} ]
Для первого велосипедиста:
[ t_1 = \frac{180}{v + 5} ]
Согласно заданию, первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше, поэтому:
[ t_2 - t_1 = 3 ]
Теперь подставим значения:
[
\frac{180}{v} - \frac{180}{v+5} = 3
]
Умножим обе части уравнения на ( v(v + 5) ), чтобы избавиться от дробей:
[
180(v + 5) - 180v = 3v(v + 5)
]
Упростим:
[
180 \cdot 5 = 3v^2 + 15v
]
[
900 = 3v^2 + 15v
]
[
3v^2 + 15v - 900 = 0
]
Разделим все на 3 для удобства:
[
v^2 + 5v - 300 = 0
]
Теперь применим формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 35}{2}
]
Мы получим два значения:
- ( v = \frac{30}{2} = 15 ) (это скорость второго велосипедиста)
- ( v = \frac{-40}{2} = -20 ) (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость второго велосипедиста равна 15 км/ч.
Задача 2
В этой задаче у нас есть две трубы. Обозначим скорость заполнения первой трубы как ( x ) литров в минуту, тогда скорость заполнения второй трубы будет ( x + 2 ) литра в минуту.
Резервуар объемом 130 литров заполняется второй трубой на 4 минуты быстрее, чем резервуар объемом 136 литров первой трубой.
Время заполнения первой трубы:
[ t_1 = \frac{136}{x} ]
Время заполнения второй трубы:
[ t_2 = \frac{130}{x + 2} ]
Согласно условию, первая труба заполняется на 4 минуты дольше, чем вторая:
[
t_1 - t_2 = 4
]
Подставим значения:
[
\frac{136}{x} - \frac{130}{x + 2} = 4
]
Умножаем обе части на ( x(x + 2) ):
[
136(x + 2) - 130x = 4x(x + 2)
]
Упрощаем уравнение:
[
136x + 272 - 130x = 4x^2 + 8x
]
[
6x + 272 = 4x^2 + 8x
]
[
4x^2 + 2x - 272 = 0
]
Применим формулу дискриминанта:
[
D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-272) = 4 + 4352 = 4356
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4356}}{2 \cdot 4}
]
Решая это, мы найдем два значения, но только положительное имеет смысл:
[
\sqrt{4356} = 66,
]
[
x = \frac{-2 + 66}{8} = \frac{64}{8} = 8.
]
Таким образом, скорость второй трубы:
[
x + 2 = 8 + 2 = 10 \text{литров в минуту.}
]
Итак, вторая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
