В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В равным 36° проведена биссектриса АК.Докажите,что треугольники СКА и АКВ равнобедренные

В равнобедренном треугольнике ABC, где AC — основание, а угол при вершине B равен 36°, биссектрису AK проведем из вершины B к основанию AC. Чтобы доказать, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные, рассмотрим следующие шаги: 1. **Углы при вершинах**: - В треугольнике ABC углы BAC и ABC равны, так как треугольник равнобедренный (AC = AB). - Обозначим угол A как α. Тогда угол ABC также будет равен α, и суммарный угол B = 36°. Таким образом, мы имеем: \[ 2\alpha + 36° = 180° \] \[ 2\alpha = 144° \] \[ \alpha = 72° \] Это значит, что угол BAC = угол ABC = 72°. 2. **Углы, образованные биссектрисой**: - Биссектрисы делят угол на две равные части. Следовательно, угол BAK = угол KAB = 36° (половина угла BAC). 3. **Рассмотрим треугольник СКА**: - Углы при основании KAC и KCA равны, поскольку AK — биссектрисса, делящая угол BAC пополам (так как угол KAC равен 72° - 36° = 36°). - Значит угол KCA = угол KAC = 36°. 4. **Рассмотрим треугольник АКВ**: - Здесь угол BAK = 36° и угол ABK = 72° (так как угол ABC равен 72°). - Углы при основании KAB и KBA равны: угол AKB = угол ABK = 36°. Таким образом, в обоих треугольниках (СКА и АКВ) два угла равны, и мы можем утверждать, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные. **Вывод**: Такие свойства углов показывают, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные, так как в каждом из них два угла равны.