Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Для решения задачи нам необходимо определить собственную скорость баржи. Обозначим её как \( v_b \) (в км/ч). Сначала рассмотрим, как движется баржа. Когда баржа плыла вниз по течению, она движется с сочетанием собственной скорости и скорости течения реки: 1. **Скорость вниз по течению**: \( v_b + 5 \) км/ч. 2. **Скорость вверх по течению**: \( v_b - 5 \) км/ч. Теперь рассмотрим время, затраченное на пути: - **Время спуска вниз по течению**: \[ t_1 = \frac{40}{v_b + 5} \] - **Время подъема вверх по течению**: \[ t_2 = \frac{30}{v_b - 5} \] Сумма времени \( t_1 \) и \( t_2 \) равна 5 часам: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим выражения для времени и получим уравнение: \[ \frac{40}{v_b + 5} + \frac{30}{v_b - 5} = 5 \] Теперь, решив это уравнение, найдем скорость баржи. Умножим обе стороны на общий знаменатель \((v_b + 5)(v_b - 5)\): \[ 40(v_b - 5) + 30(v_b + 5) = 5(v_b + 5)(v_b - 5) \] Раскроем скобки: \[ 40v_b - 200 + 30v_b + 150 = 5(v_b^2 - 25) \] \[ 70v_b - 50 = 5v_b^2 - 125 \] Переносим все в одну сторону: \[ 5v_b^2 - 70v_b - 75 = 0 \] Это уравнение можно сократить на 5: \[ v_b^2 - 14v_b - 15 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы виды: \[ v_b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -14, c = -15 \). Вычисляем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \] Теперь найдем \( v_b \): \[ v_b = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{14 \pm 16}{2} \] Решения будут: 1. \( v_b = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч (положительное значение). 2. \( v_b = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной). Таким образом, собственная скорость баржи составляет **15 км/ч**.