Для решения задачи начнем с обозначения переменных. Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде равна ( v ) км/ч. Известно, что скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Когда лодка движется против течения, её эффективная скорость будет ( v - 3 ) км/ч, а когда она движется по течению, её скорость увеличивается до ( v + 3 ) км/ч.
Лодка прошла 247 км против течения, а затем вернулась на то же расстояние. Мы можем выразить время, затраченное на каждый путь, используя формулу ( \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ).
Время, затраченное на путь против течения:
[
t_1 = \frac{247}{v - 3}
]
Время, затраченное на путь по течению:
[
t_2 = \frac{247}{v + 3}
]
Согласно условию задачи, время на обратный путь ( t_2 ) на 6 часов меньше, чем время на путь против течения. Это можно записать как:
[
t_1 - t_2 = 6
]
Подставим наши выражения для времени:
[
\frac{247}{v - 3} - \frac{247}{v + 3} = 6
]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим уравнение:
[
\frac{247(v + 3) - 247(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 6
]
[
\frac{247(v + 3 - v + 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 6
]
[
\frac{247 \cdot 6}{(v - 3)(v + 3)} = 6
]
После упрощения получим:
[
\frac{1482}{(v - 3)(v + 3)} = 6
]
Умножим обе стороны уравнения на ( (v - 3)(v + 3) ) и 6:
[
1482 = 6(v - 3)(v + 3)
]
[
1482 = 6(v^2 - 9)
]
[
v^2 - 9 = \frac{1482}{6}
]
[
v^2 - 9 = 247
]
[
v^2 = 256
]
[
v = 16 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет 16 км/ч.
