Для решения задачи начнем с анализа информации о правильной четырехугольной призме. Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание и две параллельные грани, которые также являются квадратами. Давайте обозначим сторону квадрата основания как ( a ).
Поскольку диагональ квадрата равна ( 4\sqrt{2} ) см, мы можем использовать формулу для расчета диагонали квадрата:
[
d = a\sqrt{2}
]
Подставляя известное значение диагонали:
[
4\sqrt{2} = a\sqrt{2}
]
Чтобы найти сторону квадрата ( a ), упростим уравнение, разделив обе стороны на ( \sqrt{2} ):
[
a = 4 \text{ см}
]
Теперь перейдем к определению площади сечения. Сечение проходит через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, образуя треугольник. Угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусам.
Для того чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
]
где ( h ) — это высота треугольника. Высота треугольника можно найти через сторону основания, зная угол. Используя синус угла:
[
h = d \cdot \sin(60^{\circ})
]
где ( d ) — это длина диагонали, именно она равна ( 4\sqrt{2} ) см.
Итак, найдём ( h ):
[
h = 4\sqrt{2} \cdot \sin(60^{\circ}) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ см}
]
Теперь подставим ( a ) и ( h ) в формулу площади треугольника, чтобы найти:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \text{ см}^2
]
Таким образом, площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, равна ( 4\sqrt{6} ) см².
