Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Мы знаем, что периметр равнобедренного треугольника (P_1 = 58) см. Пусть длины равнобедренных сторон обозначим как (a), а основание как (b). Тогда можно записать:
[
2a + b = 58
]
Также известно, что основание этого равнобедренного треугольника является одной из сторон другого равнобедренного треугольника, периметр которого равен (P_2 = 42) см. Обозначим длины равнобедренных сторон второго треугольника также как (c), а основание как (b). Для второго треугольника у нас есть уравнение:
[
2c + b = 42
]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- (2a + b = 58)
- (2c + b = 42)
Из второго уравнения выразим (b):
[
b = 42 - 2c
]
Подставим это значение (b) в первое уравнение:
[
2a + (42 - 2c) = 58
]
Упростим это уравнение:
[
2a + 42 - 2c = 58
]
[
2a - 2c = 58 - 42
]
[
2a - 2c = 16
]
[
a - c = 8 \quad \text{(1)}
]
Теперь выразим (a) через (c):
[
a = c + 8
]
Теперь вернемся ко второму уравнению и подставим (b):
Подставим (b = 42 - 2c) обратно в любое из уравнений, чтобы найти стороны треугольника. Давайте подставим в первое:
[
2(c + 8) + (42 - 2c) = 58
]
Упростим:
[
2c + 16 + 42 - 2c = 58
]
[
58 = 58
]
Это равенство подтверждает, что у нас правильные выражения. Теперь мы можем выбрать значение для (c), чтобы найти (a) и (b).
Если, например, мы возьмем (c = 10):
[
a = 10 + 8 = 18
]
[
b = 42 - 2 \cdot 10 = 22
]
Теперь мы можем подставить полученные значения и проверить периметры:
- Для первого треугольника: (2 \cdot 18 + 22 = 36 + 22 = 58) — верно.
- Для второго треугольника: (2 \cdot 10 + 22 = 20 + 22 = 42) — верно.
Таким образом, стороны равнобедренного треугольника составляют:
[
18 \text{ см, } 18 \text{ см, } \text{и } 22 \text{ см.}
]
