Чтобы решить задачу, начнём с анализа данных:
Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см. Обозначим основание треугольника как ( a ) и оба равные боковые стороны как ( b ). Таким образом, можно записать:
( a + 2b = 32 ).
Высота, проведённая к основанию ( a ), делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Периметр каждого из этих меньших треугольников равен 24 см. Рассмотрим один из них. Обозначим половину основания (которая равна ( \frac{a}{2} )) и высоту как ( h ). Периметр одного из этих треугольников можно выразить как:
( \frac{a}{2} + b + h = 24 ).
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + 2b = 32 )
- ( \frac{a}{2} + b + h = 24 )
Из уравнения 1 выразим ( a ):
( a = 32 - 2b ).
Подставим это значение в уравнение 2:
[
\frac{32 - 2b}{2} + b + h = 24.
]
Упрощаем это уравнение:
[
16 - b + b + h = 24,
]
что приводит к:
[
h = 24 - 16 = 8.
]
Теперь, чтобы найти длину медианы, проведённой к основанию, используем формулу для длины медианы ( m ) в треугольнике, заданном сторонами ( a ), ( b ), ( c ):
[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}.
]
В нашем случае ( a ) — основание, а ( b = c ) – равные стороны.
Мы знаем, что ( a + 2b = 32 ) и ( h = 8 ).
Можем найти длину ( b ) через высоту ( h ):
Используем теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников:
[
b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2.
]
Подставим ( h = 8 ):
[
b^2 = 8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 64 + \left(\frac{32 - 2b}{2}\right)^2.
]
Обозначив ( \frac{a}{2} = 16 - b ), получаем:
[
b^2 = 64 + (16 - b)^2,
]
что можно решить для ( b ).
После нахождения ( b ) можно подставить значения обратно в формулу медианы, чтобы найти её длину.
Тем не менее, если оставить решение в числовой форме, длину медианы можно рассчитать подставив ровно найденные значения ( b ) и ( a ).
Таким образом, вы получите искомую длину медианы.
