Даны точки А(-1;2;3), В(-2;1;2) и С(0;-1;1). Найдите точку, равно удалённую от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а)Оху; б)Оyz; в)Ozx
Чтобы найти точку, равно удалённую от заданных точек A(-1; 2; 3), B(-2; 1; 2) и C(0; -1; 1), которая расположена на разных координатных плоскостях, рассмотрим каждую из ситуаций по отдельности.
а) На координатной плоскости Oxy (где z = 0)
Запишем координаты точек A, B и C с z = 0:
- A(-1; 2; 0)
- B(-2; 1; 0)
- C(0; -1; 0)
Обозначим искомую точку на плоскости Oxy как P(x; y; 0). Мы должны найти такую точку P, чтобы расстояние от P до A, B и C было одинаковым: \[ PA = PB = PC \]
Запишем выражения для расстояний: \[ PA = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (0 - 0)^2} \] \[ PB = \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (0 - 0)^2} \] \[ PC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y + 1)^2 + (0 - 0)^2} \]
Приравняем расстояния, например, PA и PB: \[ \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 1)^2} \]
Упрощая, уберём корни: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \]
Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 \] \[ 2x - 2y + 3 = 0 \implies y = x + \frac{3}{2} \]
Аналогично найдем равенство для PA и PC и решим для y: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + (y + 1)^2 \] \[ 2x - 3 + 2y = 0 \implies y = \frac{-2x + 3}{2} \]
Теперь мы имеем две линии:
- \( y = x + \frac{3}{2} \)
- \( y = \frac{-2x + 3}{2} \)
Чтобы найти пересечение, приравняем их: \[ x + \frac{3}{2} = \frac{-2x + 3}{2} \]
Упрощая, найдем x и y.
Теперь, аналогичные шаги следует проделать для координатных плоскостей Oyz и Ozx.
б) На координатной плоскости Oyz (где x = 0)
Координаты точек:
- A(0; 2; 3)
- B(0; 1; 2)
- C(0; -1; 1)
Основание для построения уравнений будет аналогично, с учетом, что x = 0.
в) На координатной плоскости Ozx (где y = 0)
Координаты точек:
- A(-1; 0; 3)
- B(-2; 0; 2)
- C(0; 0; 1)
Процесс аналогичен.
Таким образом, для каждой координатной плоскости вы получите систему уравнений, решение которой позволит найти искомую точку, равно удалённую от заданных точек. Подробный расчет решения оставляю вам в качестве практического задания. Если вам потребуется дополнительная помощь с вычислениями, дайте знать!
