Площадь полной поверхности конуса равна 90. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1.4, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Для решения задачи начнём с определения необходимых формул и переменных, связанных с конусом. Площадь полной поверхности конуса \( S \) можно выразить через площадь основания \( S_{осн} \) и площадь боковой поверхности \( S_{бок} \): \[ S = S_{осн} + S_{бок} \] Площадь основания конуса (если радиус основания равен \( r \)) равна: \[ S_{осн} = \pi r^2 \] Площадь боковой поверхности конуса (с высотой \( h \) и образующей \( l \)) определяется формулой: \[ S_{бок} = \pi r l \] Таким образом, полный размер площади равен: \[ S = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l) \] Имеем: \( S = 90 \). Из условия задачи известно, что сечение проведено параллельно основанию в отношении \( 1:4 \) от высоты. Пусть высота конуса обозначается как \( H \), тогда высота отсечённого конуса составит \( h_{сеч} = \frac{H}{4} \), а высота оставшейся части конуса \( h_{ост} = H - h_{сеч} = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4} \). Также важно учесть, что сечение уменьшает радиус основания. Радиус основания отсечённого конуса равен: \[ r_{сеч} = r \cdot \frac{h_{сеч}}{H} = r \cdot \frac{1/4}{1} = \frac{r}{4} \] Теперь найдем полную площадь поверхности отсечённого конуса. Она будет состоять из площади основания нового конуса и площади боковой поверхности отсечённого конуса: 1. Площадь основания отсечённого конуса: \[ S_{осн_{сеч}} = \pi (r_{сеч})^2 = \pi \left(\frac{r}{4}\right)^2 = \pi \frac{r^2}{16} \] 2. Площадь боковой поверхности отсечённого конуса (с высотой \( h_{сеч} = \frac{H}{4} \) и образующей \( l_{сеч} \)): Для нахождения образующей \( l_{сеч} \) можно использовать теорему Пифагора: \[ l_{сеч} = \sqrt{(r_{сеч})^2 + (h_{сеч})^2} = \sqrt{\left(\frac{r}{4}\right)^2 + \left(\frac{H}{4}\right)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{r^2 + H^2} \] Теперь вычислим площадь боковой поверхности отсечённого конуса: \[ S_{бок_{сеч}} = \pi r_{сеч} l_{сеч} = \pi \cdot \frac{r}{4} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{r^2 + H^2} = \frac{\pi r}{16} \sqrt{r^2 + H^2} \] Суммируя площади, получим полную площадь поверхности отсечённого конуса: \[ S_{отсеч} = S_{осн_{сеч}} + S_{бок_{сеч}} = \pi \frac{r^2}{16} + \frac{\pi r}{16} \sqrt{r^2 + H^2} \] Для нахождения окончательной площади необходимо учесть известное значение полной площади исходного конуса. С учетом преобразований и линейной зависимости радиусов и высот, площадь полной поверхности отсеченного конуса составит: \[ S_{отсеч} = \frac{S}{(1 + \frac{1}{4})^2} = \frac{S}{\frac{25}{16}} = \frac{90 \cdot 16}{25} = \frac{1440}{25} = 57.6 \] Таким образом, площадь полной поверхности отсечённого конуса равна 57.6.