Для решения этой задачи давайте сначала освежим концепцию средней линии трапеции и то, как диагонали взаимодействуют с ней.
Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины двух боковых сторон и равна полусумме оснований. В данном случае основания трапеции равны 4 см и 10 см.
Сначала найдем длину средней линии:
( L = \frac{b_1 + b_2}{2} = \frac{4 , \text{см} + 10 , \text{см}}{2} = \frac{14 , \text{см}}{2} = 7 , \text{см} )
Когда диагональ трапеции делит среднюю линию, она делит ее на два отрезка, и длины этих отрезков пропорциональны основаниям трапеции. То есть, если обозначить длины отрезков как ( x ) и ( y ), где ( x ) — это отрезок, соответствующий большему основанию (10 см), а ( y ) — отрезок, соответствующий меньшему основанию (4 см), то можно записать равенство:
[
\frac{x}{y} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10 , \text{см}}{4 , \text{см}} = \frac{5}{2}
]
Пусть общая длина средней линии (7 см) равна ( x + y ). Тогда, зная соотношение и общую длину, можно записать систему уравнений:
- ( x + y = 7 )
- ( \frac{x}{y} = \frac{5}{2} ), что можно записать как ( x = \frac{5}{2}y )
Подставим второе уравнение в первое:
[
\frac{5}{2}y + y = 7
]
Объединим и выразим:
[
\frac{7}{2}y = 7
]
[
y = 2
]
Теперь подставим значение ( y ) обратно, чтобы найти ( x ):
[
x = 7 - y = 7 - 2 = 5
]
Таким образом, длина большего отрезка, который соответствует большему основанию, равна 5 см.
Ответ: длина большего из отрезков, на который делит среднюю линию диагональ трапеции, равна 5 см.
