Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- ( v ) — скорость течения реки (км/ч).
- Скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч.
Когда лодка движется против течения, её скорость будет равна ( 9 - v ) (км/ч), а при движении по течению — ( 9 + v ) (км/ч).
Сначала определим время, которое лодка потратила на путь против течения:
[
t_1 = \frac{72}{9 - v}
]
Теперь определим время, которое она потратила на обратный путь по течению:
[
t_2 = \frac{72}{9 + v}
]
По условию задачи, время на обратный путь на 6 часов меньше, чем время в путь против течения:
[
t_1 - t_2 = 6
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{72}{9 - v} - \frac{72}{9 + v} = 6
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( (9 - v)(9 + v) ) для избавления от дробей:
[
72(9 + v) - 72(9 - v) = 6(9 - v)(9 + v)
]
Упростим левую часть:
[
72(9 + v - 9 + v) = 6(81 - v^2)
]
[
144v = 486 - 6v^2
]
Приведем все к одному уравнению:
[
6v^2 + 144v - 486 = 0
]
Теперь упростим это уравнение, разделив всё на 6:
[
v^2 + 24v - 81 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900
]
Теперь найдём корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 30}{2}
]
Решаем:
- ( v_1 = \frac{6}{2} = 3 )
- ( v_2 = \frac{-54}{2} ) — этот корень отрицательный, что не подходит, так как скорость течения не может быть отрицательной.
Таким образом, скорость течения реки составляет ( 3 ) км/ч.
