Давайте рассмотрим каждый из пунктов по порядку и докажем их.
a) Сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
Обозначим три последовательных четных числа: (2n), (2n + 2) и (2n + 4), где (n) — целое число.
Теперь найдем их сумму:
[
S = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1).
]
Очевидно, что сумма (S) делится на 6, так как она равна (6) умноженному на целое число (n + 1).
б) Сумма трех последовательных нечётных чисел делится на 3.
Обозначим три последовательных нечётных числа: (2n + 1), (2n + 3) и (2n + 5), где (n) — целое число.
Суммируем их:
[
S = (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 6n + 9 = 3(2n + 3).
]
Эта сумма делится на 3, так как она равна (3) умноженному на целое число (2n + 3).
в) Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт остаток 2.
Обозначим четыре последовательных натуральных числа: (n), (n + 1), (n + 2) и (n + 3).
Суммируем их:
[
S = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6.
]
При делении (4n + 6) на 4 мы получаем:
[
(4n + 6) \mod 4 = (0 + 2) \mod 4 = 2.
]
Таким образом, сумма четырех последовательных натуральных чисел дает остаток 2 при делении на 4.
г) Сумма четырех последовательных чётных чисел при делении на 8 даёт остаток 4.
Обозначим четыре последовательных четных числа: (2n), (2n + 2), (2n + 4) и (2n + 6).
Суммируем их:
[
S = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 8n + 12.
]
При делении (8n + 12) на 8 получаем:
[
(8n + 12) \mod 8 = (0 + 4) \mod 8 = 4.
]
Таким образом, сумма четырех последовательных четных чисел дает остаток 4 при делении на 8.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дальнейшая помощь, не стесняйтесь спрашивать!
