Вариант 1 1. Сколько плоскостей можно провести через точки А. В и С. если: и почему! 1) АВ = 13 см, ВС = 17 см, АС = 24 ем; 2) АВ = 14 см. ВС = 16 см. АС - 30 см? 2. Вершина А треугольника АВС принадлежит плоскости а. а вершины В и С ей не принадлежат. Продолжения биссектрис ВМ и СК треугольника АВС пересекают плоскость а в точках Е и F соответственно. Докажите, что точки А. Е и F лежат на одной прямой. 3. Середины трёх сторон треугольника принадлежат плоскости а. Принадлежат ли плоскости а вершины треугольника? И почему? 1. Сколько плоскостей можно провести через точки М. V и К, если: и почему? 1) MN = 17 см. NK = 14 см. МК = 31 см: 2) MN = 19 см, NK = 12 см. МК = 15 см? 2. Вершина D четырёхугольника ИВС принадлежит плоскости а. а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения стороны ВС и диагонали АС пересекают плоскость а в точках М и N соответственно. Докажите, что точки D. М и У лежат на одной прямой. 3. Основания биссектрис треугольника принадлежат плоскости а. Принадлежат ли плоскости a вершины треугольника и почему?

Для решения задач будем использовать свойства геометрии, в частности, теорией плоскостей и треугольников. ### Вариант 1 1. **Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и C, если:** 1) **AB = 13 см, BC = 17 см, AC = 24 см:** Поскольку любые три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость, если A, B и C не коллинеарны, то через эти три точки можно провести **одну** плоскость. Условия треугольника выполняются, так как длина одной стороны (AC) меньше суммы двух других (AB + BC), что говорит о том, что точки не коллинеарны. 2) **AB = 14 см, BC = 16 см, AC = 30 см:** В этом случае треугольное неравенство не выполняется, так как сумма длин двух сторон (AB + BC = 30 см) равна длине третьей стороны (AC). Это значит, что точки A, B и C являются коллинеарными. В результате через эти три точки нельзя провести плоскость, и, следовательно, можно сказать, что таких плоскостей **нет**. 2. **Доказательство, что точки A, E и F лежат на одной прямой:** Поскольку точка A принадлежит плоскости а, а точки B и C — нет, то биссектрисы BM и CK пересекают плоскость a в точках E и F соответственно. По свойству параллельности и угла между прямыми, проходящими через точку A и пересекаемыми плоскостью, можно заключить, что линия, проходящая через точки E и F и точку A, будет являться биссектрисой угла BAC. Таким образом, точки A, E и F лежат на одной прямой. 3. **Принадлежность вершин треугольника плоскости a:** Середины сторон треугольника действительно принадлежат плоскости a. Однако, вершины треугольника не обязательно принадлежат этой плоскости, так как, если каждая из сторон имеет середину, лежащую на плоскости, это не означает, что сами вершины тоже должны быть на этой плоскости. Поэтому ответ — **нет**, вершины не обязательно принадлежат плоскости. ### Вариант 2 1. **Сколько плоскостей можно провести через точки M, N и K, если:** 1) **MN = 17 см, NK = 14 см, MK = 31 см:** Длина сторон соблюдает неравенство треугольника (MN + NK > MK, и так для всех сторон), что указывает на то, что точки M, N и K не коллинеарны. Следовательно, через точки M, N и K можно провести **одну** уникальную плоскость. 2) **MN = 19 см, NK = 12 см, MK = 15 см:** В этом случае также выполняется треугольное неравенство (19 + 12 > 15 и другие). Поэтому точки также не коллинеарны и, соответственно, через M, N и K можно провести **одну** плоскость. 2. **Доказательство, что точки D, M и N лежат на одной прямой:** Поскольку D принадлежит плоскости a, а BC и AC находятся вне этой плоскости, то линии DM и DN, по сути, являются проекциями сторон BC и диагонали AC на плоскость a. Так как точка D видит линию MN, линии DM и DN не могут "разойтись" и должны пересекаться в D, значит, точки D, M и N лежат на одной прямой. 3. **Принадлежность вершин треугольника плоскости a:** Аналогично предыдущему варианту, основания биссектрис могут находиться на плоскости a, однако это не гарантирует, что вершины треугольника тоже будут там же. Таким образом, ответ — **нет**, вершины треугольника не обязательно принадлежат плоскости a. Эти объяснения помогут вам понять и подготовиться к экзаменам по геометрии. Удачи!