6 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллело грамм выпуклым четырёхугольником? 7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные…
6 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллело грамм выпуклым четырёхугольником? 7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 8 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересече ния делятся пополам. 9 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках парал лелограмма. 10 Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называ ются стороны трапеции? 11 Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной? 12 Какой четырёхугольник называется прямоугольником? 13 Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 14 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, το параллелограмм является прямоугольником. 15. Какой четырёхугольник называется ромбом? 16 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 17 Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата. 18 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квад
Определение параллелограмма: Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Да, параллелограмм является выпуклым четырехугольником, так как все его углы меньше 180 градусов.
Докажем, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Пусть ABCD - параллелограмм, где AB || CD и AD || BC.
- Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
- У них общая сторона BD, угол ABD равен углу CDB (соответствующие углы), и угол ADB равен углу BCD (также соответствующие углы).
- Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум углам и стороне между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум углам и стороне). Тогда AB = CD и AD = BC.
- Также из этих равных треугольников следует, что угол ABC равен углу CDA (противоположные углы), и угол BCD равен углу DAB.
Докажем, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Обозначим пересечение диагоналей AC и BD как точку O. В треугольниках AOB и COD, у нас есть:
- AO = CO (поскольку AB || CD, а AO и CO – соответствующие отрезки).
- OB = OD (поскольку AD || BC, а OB и OD – соответствующие отрезки).
- Учитывая, что треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними, получаем, что AO = OC и OB = OD.
Признаки параллелограмма:
- Если обе пары противоположных сторон равны, то четырехугольник – параллелограмм.
- Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырехугольник – параллелограмм.
- Если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся пополам, то четырехугольник – параллелограмм.
Четырехугольник, называемый трапецией: Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна. Стороны, параллельные друг другу, называются основаниями трапеции, а другие две стороны – боковыми сторонами.
Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой один из углов прямой.
Четырехугольник, называемый прямоугольником: Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам.
Докажем, что диагонали прямоугольника равны. Пусть ABCD – прямоугольник, где углы A, B, C, D равны 90°. Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
- Они равны по двум сторонам (AB = CD и AD = BC) и углу (угол A = угол C = 90°).
- Следовательно, диагонали AC и BD равны, то есть AC = BD.
- Докажем, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником. Пусть ABCD – параллелограмм, и AC = BD. Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
- Все стороны и диагонали равны, следовательно, углы A и C равны, а так как ABCD – параллелограмм, все углы равны 90°, значит параллелограмм ABCD – это прямоугольник.
Четырехугольник, называемый ромбом: Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Докажем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Пусть ABCD – ромб, диагонали – AC и BD.
- Из свойства параллелограмма знаем, что диагонали пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COB равны (AO = CO, OB = OD, AB = CD), следовательно, угол AOB = угол COD.
- Также из равенства сторон AB = AD следуем, что угол AOD = угол BOC. Таким образом, диагонали делят углы ромба пополам и перпендикулярны.
Четырехугольник, называемый квадратом: Квадрат – это ромб, у которого все углы равны 90°. Основные свойства квадрата: все стороны равны, все углы равны (90°), диагонали равны и пересекаются под прямым углом, деля углы пополам.
Утверждения о признаках квадрата:
- Если все стороны четырехугольника равны, то он может быть квадратом (необходимы дополнительные проверки на прямые углы).
- Если все углы четырехугольника равны 90°, то он может быть квадратом (необходимы дополнительные проверки на равенство сторон).
- Если диагонали фигуры равны и пересекаются под прямым углом, то она является квадратом.
