6 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллело грамм выпуклым четырёхугольником? 7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 8 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересече ния делятся пополам. 9 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках парал лелограмма. 10 Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называ ются стороны трапеции? 11 Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной? 12 Какой четырёхугольник называется прямоугольником? 13 Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 14 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, το параллелограмм является прямоугольником. 15. Какой четырёхугольник называется ромбом? 16 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 17 Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата. 18 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квад

6. **Определение параллелограмма**: Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Да, параллелограмм является выпуклым четырехугольником, так как все его углы меньше 180 градусов. 7. **Докажем, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны**. Пусть ABCD - параллелограмм, где AB || CD и AD || BC. - Рассмотрим треугольники ABD и CDB. - У них общая сторона BD, угол ABD равен углу CDB (соответствующие углы), и угол ADB равен углу BCD (также соответствующие углы). - Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум углам и стороне между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум углам и стороне). Тогда AB = CD и AD = BC. - Также из этих равных треугольников следует, что угол ABC равен углу CDA (противоположные углы), и угол BCD равен углу DAB. 8. **Докажем, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам**. Обозначим пересечение диагоналей AC и BD как точку O. В треугольниках AOB и COD, у нас есть: - AO = CO (поскольку AB || CD, а AO и CO – соответствующие отрезки). - OB = OD (поскольку AD || BC, а OB и OD – соответствующие отрезки). - Учитывая, что треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними, получаем, что AO = OC и OB = OD. 9. **Признаки параллелограмма**: - Если обе пары противоположных сторон равны, то четырехугольник – параллелограмм. - Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырехугольник – параллелограмм. - Если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся пополам, то четырехугольник – параллелограмм. 10. **Четырехугольник, называемый трапецией**: Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна. Стороны, параллельные друг другу, называются основаниями трапеции, а другие две стороны – боковыми сторонами. 11. **Равнобедренная трапеция** – это трапеция, у которой боковые стороны равны. **Прямоугольная трапеция** – это трапеция, у которой один из углов прямой. 12. **Четырехугольник, называемый прямоугольником**: Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам. 13. **Докажем, что диагонали прямоугольника равны**. Пусть ABCD – прямоугольник, где углы A, B, C, D равны 90°. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. - Они равны по двум сторонам (AB = CD и AD = BC) и углу (угол A = угол C = 90°). - Следовательно, диагонали AC и BD равны, то есть AC = BD. 14. **Докажем, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником**. Пусть ABCD – параллелограмм, и AC = BD. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. - Все стороны и диагонали равны, следовательно, углы A и C равны, а так как ABCD – параллелограмм, все углы равны 90°, значит параллелограмм ABCD – это прямоугольник. 15. **Четырехугольник, называемый ромбом**: Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. 16. **Докажем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам**. Пусть ABCD – ромб, диагонали – AC и BD. - Из свойства параллелограмма знаем, что диагонали пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COB равны (AO = CO, OB = OD, AB = CD), следовательно, угол AOB = угол COD. - Также из равенства сторон AB = AD следуем, что угол AOD = угол BOC. Таким образом, диагонали делят углы ромба пополам и перпендикулярны. 17. **Четырехугольник, называемый квадратом**: Квадрат – это ромб, у которого все углы равны 90°. Основные свойства квадрата: все стороны равны, все углы равны (90°), диагонали равны и пересекаются под прямым углом, деля углы пополам. 18. **Утверждения о признаках квадрата**: - Если все стороны четырехугольника равны, то он может быть квадратом (необходимы дополнительные проверки на прямые углы). - Если все углы четырехугольника равны 90°, то он может быть квадратом (необходимы дополнительные проверки на равенство сторон). - Если диагонали фигуры равны и пересекаются под прямым углом, то она является квадратом.