1. Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кубик придётся подбрасывать более трёх раз. 2. Олег кидает мяч в баскетбольную…

Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди.

Задача 1:

Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кубик придётся подбрасывать более трёх раз.

Вероятность выпадения 6 при подбрасывании кубика равна \( p = \frac{1}{6} \), а вероятность не выпасть 6 равна \( q = \frac{5}{6} \).

Для того чтобы подбросить кубик более трёх раз, нужно, чтобы в первых трёх подбрасываниях не выпал 6. Это можно выразить как:

\[ P(X > 3) = P(не выпал 6 в 1-3 подбрасываниях) = q^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

Теперь считаем:

\[ P(X > 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \approx 0.5787 \]

Задача 2:

Олег кидает мяч в баскетбольную корзину 10 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске независимо от других равна 0,8. Найдите вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз.

Эта задача решается с помощью биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) имеет вид:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( n = 10 \) — общее количество бросков,
• \( k = 5 \) — количество попаданий,
• \( p = 0.8 \) — вероятность попадания,
• \( q = 0.2 \) — вероятность непромаха,
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Итак, подставляем значения:

\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!} = 252 \]

Теперь рассчитываем вероятность:

\[ P(X = 5) = 252 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^{10-5} = 252 \cdot (0.32768) \cdot (0.00032) \approx 0.0839 \]

Задача 3:

12 чайных чашек упакованы в непрозрачную бумагу и уложены в коробку, из них 4 с рисунком в красный горошек, а 8 — синий. Найдите вероятность того, что из этих 4 чашек только одна будет в синий горошек.

Для решения используем формулу для комбинаций:

1. Количество способов выбрать 4 чашки из 12: \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495 \]

2. Нужно выбрать 1 чашку с синим горошком и 3 чашки с красным. Используем комбинации:

• Количество способов выбрать 1 синюю чашку (из 8): \[ C(8, 1) = 8 \]
• Количество способов выбрать 3 красные чашки (из 4): \[ C(4, 3) = 4 \]

Теперь считаем общее количество удачных исходов: \[ \text{Удачные исходы} = C(8,1) \cdot C(4,3) = 8 \cdot 4 = 32 \]

Следовательно, вероятность того, что среди 4 чашек только одна с синим горошком: \[ P = \frac{32}{495} \approx 0.0645 \]

Дополнительные задачи:

1. Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что монету придётся подбрасывать не более трёх раз.

Вероятность того, что первая резка выпадет на 1-м, 2-м или 3-м подбрасывании:

\[ P(X = 1) = \frac{1}{2} \] \[ P(X = 2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] \[ P(X = 3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

Общая вероятность: \[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]

2. Михаил - часто летающий пассажир. При этом он опаздывает на рейс с вероятностью 0,2. В будущем месяце Михаилу предстоят 7 перелётов по работе. Найдите вероятность того, что за этот период Михаил опоздает на рейс дважды.

Тут также применим биномиальное распределение:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n = 7 \) — количество перелётов,
• \( k = 2 \) — количество опозданий,
• \( p = 0.2 \) — вероятность опоздания.

Считаем:

\[ C(7, 2) = 21 \] \[ P(X = 2) = 21 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^5 = 21 \cdot 0.04 \cdot 0.32768 \approx 0.2765 \]

3. В спортивной команде 6 игроков основного состава и 5 запасных. Для дополнительного тестирования на допинг выбирают случайным образом 3 игроков. Найдите вероятность того, что среди них один из основного состава и двое запасных.

Сначала находим общее количество способов выбрать 3 игроков из 11:

\[ C(11, 3) = 165 \]

Теперь вычислим количество способов выбрать 1 основного игрока и 2 запасных:

\[ C(6, 1) = 6 \quad \text{и} \quad C(5, 2) = 10 \]

Количество удачных исходов:

\[ \text{Удачные исходы} = 6 \cdot 10 = 60 \]

Следовательно, вероятность успеха:

\[ P = \frac{60}{165} \approx 0.3636 \]

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!