Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди.
Задача 1:
Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кубик придётся подбрасывать более трёх раз.
Вероятность выпадения 6 при подбрасывании кубика равна ( p = \frac{1}{6} ), а вероятность не выпасть 6 равна ( q = \frac{5}{6} ).
Для того чтобы подбросить кубик более трёх раз, нужно, чтобы в первых трёх подбрасываниях не выпал 6. Это можно выразить как:
[
P(X > 3) = P(не выпал 6 в 1-3 подбрасываниях) = q^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3
]
Теперь считаем:
[
P(X > 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \approx 0.5787
]
Задача 2:
Олег кидает мяч в баскетбольную корзину 10 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске независимо от других равна 0,8. Найдите вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз.
Эта задача решается с помощью биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности ( P(X = k) ) имеет вид:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( n = 10 ) — общее количество бросков,
- ( k = 5 ) — количество попаданий,
- ( p = 0.8 ) — вероятность попадания,
- ( q = 0.2 ) — вероятность непромаха,
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Итак, подставляем значения:
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!} = 252
]
Теперь рассчитываем вероятность:
[
P(X = 5) = 252 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^{10-5} = 252 \cdot (0.32768) \cdot (0.00032) \approx 0.0839
]
Задача 3:
12 чайных чашек упакованы в непрозрачную бумагу и уложены в коробку, из них 4 с рисунком в красный горошек, а 8 — синий. Найдите вероятность того, что из этих 4 чашек только одна будет в синий горошек.
Для решения используем формулу для комбинаций:
Количество способов выбрать 4 чашки из 12:
[
C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495
]
Нужно выбрать 1 чашку с синим горошком и 3 чашки с красным. Используем комбинации:
- Количество способов выбрать 1 синюю чашку (из 8):
[
C(8, 1) = 8
]
- Количество способов выбрать 3 красные чашки (из 4):
[
C(4, 3) = 4
]
Теперь считаем общее количество удачных исходов:
[
\text{Удачные исходы} = C(8,1) \cdot C(4,3) = 8 \cdot 4 = 32
]
Следовательно, вероятность того, что среди 4 чашек только одна с синим горошком:
[
P = \frac{32}{495} \approx 0.0645
]
Дополнительные задачи:
- Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что монету придётся подбрасывать не более трёх раз.
Вероятность того, что первая резка выпадет на 1-м, 2-м или 3-м подбрасывании:
[
P(X = 1) = \frac{1}{2}
]
[
P(X = 2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
]
[
P(X = 3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}
]
Общая вероятность:
[
P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
]
- Михаил - часто летающий пассажир. При этом он опаздывает на рейс с вероятностью 0,2. В будущем месяце Михаилу предстоят 7 перелётов по работе. Найдите вероятность того, что за этот период Михаил опоздает на рейс дважды.
Тут также применим биномиальное распределение:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( n = 7 ) — количество перелётов,
- ( k = 2 ) — количество опозданий,
- ( p = 0.2 ) — вероятность опоздания.
Считаем:
[
C(7, 2) = 21
]
[
P(X = 2) = 21 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^5 = 21 \cdot 0.04 \cdot 0.32768 \approx 0.2765
]
- В спортивной команде 6 игроков основного состава и 5 запасных. Для дополнительного тестирования на допинг выбирают случайным образом 3 игроков. Найдите вероятность того, что среди них один из основного состава и двое запасных.
Сначала находим общее количество способов выбрать 3 игроков из 11:
[
C(11, 3) = 165
]
Теперь вычислим количество способов выбрать 1 основного игрока и 2 запасных:
[
C(6, 1) = 6 \quad \text{и} \quad C(5, 2) = 10
]
Количество удачных исходов:
[
\text{Удачные исходы} = 6 \cdot 10 = 60
]
Следовательно, вероятность успеха:
[
P = \frac{60}{165} \approx 0.3636
]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
