Чтобы решить уравнение ( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 ), можно использовать метод проб и ошибок для нахождения корней или применить теорему Безу.
- Проверка целых чисел: Начнем с проверки целых корней, подставляя возможные значения. Например, попробуем ( x = -3 ):
[
(-3)^3 + 5(-3)^2 - 9(-3) - 45 = -27 + 5 \cdot 9 + 27 - 45 = -27 + 45 + 27 - 45 = 0
]
Итак, ( x = -3 ) — один из корней уравнения.
- Деление многочлена: Теперь мы можем разделить многочлен на ( (x + 3) ). Используем деление многочленов или синтетическое деление:
[
x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = (x + 3)(x^2 + 2x - 15)
]
- Решение квадратного уравнения: Далее решим квадратное уравнение ( x^2 + 2x - 15 = 0 ). Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64
]
Так как дискриминант положителен, у квадратного уравнения два действительных корня:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2}
]
Корни:
[
x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5
]
- Итоговые корни: Таким образом, у уравнения ( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 ) три корня:
[
x_1 = -3, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = -5
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения по другим темам, не стесняйтесь обращаться!
