1. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми однородными шарами, если вначале шары соприкасались друг с другом, а затем один из шаров отодвинули на…
1. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми однородными шарами, если вначале шары соприкасались друг с другом, а затем один из шаров отодвинули на расстояние, равное диаметру шаров? 2. Водяной насос равномерно подает 300 кг воды в минуту на высоту 80 м. Определите мощность (в кВт) мотора, которым приводится в действие насос, если его КПД равен 80%. g=10 м/с. Кинетическую энергию воды не учитывать. 3. Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз? g=10 м/с". 4. Пуля массой m=15 г, летящая горизонтально со скоростью v=200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной I=1 м и массой М=1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения ф маятника. 5. Человек массой m=60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R=1 м и массой М=120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1=10 мин , переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру.
- Чтобы определить, во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми однородными шарами, мы воспользуемся законом всемирного тяготения:
\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]
где \( G \) — гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тел, \( r \) — расстояние между их центрами.
Если шары соприкасались, расстояние между их центрами равно \( r = 2R \), где \( R \) — радиус шара. Когда один из шаров отодвигается на расстояние, равное диаметру (то есть на \( 2R \)), то новое расстояние между центрами будет:
\[ r' = 2R + 2R = 4R \]
Теперь, используя формулу для силы тяготения:
Исходная сила: \[ F = G \frac{m^2}{(2R)^2} = G \frac{m^2}{4R^2} \]
Новая сила: \[ F' = G \frac{m^2}{(4R)^2} = G \frac{m^2}{16R^2} \]
Теперь найдем отношение:
\[ \frac{F'}{F} = \frac{G \frac{m^2}{16R^2}}{G \frac{m^2}{4R^2}} = \frac{1/16}{1/4} = \frac{1}{4} \]
Следовательно, сила тяготения уменьшится в 4 раза.
- Для расчета мощности насоса воспользуемся формулой мощности:
\[ P = \frac{W}{t} \]
где \( W \) — работа, \( t \) — время. Работа может быть определена как:
\[ W = mgh \]
где \( m \) — масса воды, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота.
В данном случае, насос подает 300 кг воды в минуту, что составляет 5 кг в секунду. Подставим значения:
\[ W = 300 \, \text{кг} \times 10 \, \text{м/с}^2 \times 80 \, \text{м} = 240000 \, \text{Дж} \, (\text{за минуту}) \] Или в секунду: \[ \frac{240000 \, \text{Дж}}{60} = 4000 \, \text{Дж/с} = 4000 \, \text{Вт} \]
Теперь, учитывая КПД насоса:
\[ P_{\text{мотор}} = \frac{P}{КПД} = \frac{4000 \, \text{Вт}}{0.8} = 5000 \, \text{Вт} = 5 \, \text{кВт} \]
Таким образом, мощность мотора составляет 5 кВт.
- Для определения высоты, на которой кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз, начнем с формулы для кинетической энергии:
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
Где \( m \) — масса камня, \( v = 10 \, \text{м/с} \). Кинетическая энергия на земле:
\[ E_{k0} = \frac{1}{2} m (10)^2 = 50m \]
Кинетическая энергия на высоте \( h \):
\[ E_k(h) = E_{k0} - mgh \]
Когда энергия уменьшится в 5 раз, то:
\[ E_k(h) = \frac{E_{k0}}{5} = \frac{50m}{5} = 10m \]
Подставляем это в уравнение:
\[ 10m = 50m - mgh \]
Сокращаем \( m \):
\[ 10 = 50 - gh \] \[ gh = 40 \Rightarrow h = \frac{40}{10} = 4 \, \text{м} \]
Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз, составляет 4 м.
- Для определения угла отклонения маятника воспользуемся законом сохранения импульса. Перед столкновением количество импульса пули равно:
\[ p_{пуля} = mv = 0.015 \, \text{кг} \times 200 \, \text{м/с} = 3 \, \text{кг м/с} \]
После столкновения маятник и пуля движутся как одно тело. Их общая масса \( m + M \):
\[ p_{система} = (m + M) \cdot V \]
Сохраняя импульс, получаем:
\[ 3 = (0.015 + 1.5)V \Rightarrow 3 = 1.515 V \Rightarrow V \approx \frac{3}{1.515} \approx 1.978 \, \text{м/с} \]
Теперь найдем угол отклонения \( \phi \) маятника, используя закон сохранения энергии. Потенциальная энергия на максимальной высоте равна начальной кинетической энергии:
\[ \frac{1}{2} (m + M) V^2 = (m + M)gh \]
Считаем высоту \( h \):
\[ h = \frac{V^2}{2g} = \frac{(1.978)^2}{2 \cdot 10} \approx 0.196 \, \text{м} \]
Теперь, используя длину маятника:
\[ h = 1 - \cos(\phi) \Rightarrow \phi = \arccos(1 - h) \]
\[ \phi = \arccos(1 - 0.196) \approx \arccos(0.804) \approx 36.3^\circ \]
Таким образом, угол отклонения маятника составляет примерно 36.3 градуса.
- Работа, совершаемая человеком при переходе к центру платформы, может быть найдена через изменение момента импульса.
Начальный момент импульса человека:
\[ L_1 = m \cdot R \cdot v_1 \]
где \( v_1 = 2\pi R n_1 \) и \( n_1 = 10 \, \text{мин} = \frac{10}{60} \, \text{с} \).
Поскольку \( n_1 = 1/6 \, \text{с} \):
\[ v_1 = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{6} \approx 1.047 \, \text{м/с} \] \[ L_1 = 60 \cdot 1 \cdot 1.047 \approx 62.82 \]
При переходе к центру, момент инерции человека не изменится.
Финальный момент будет равен:
\[ L_2 = m \cdot 0 \approx 0 \]
Работа равна изменению момента:
\[ A = L_1 - L_2 = 62.82 - 0 \]
Таким образом, работа, совершаемая человеком, равна 62.82 Дж.
Теперь вы готовы к экзаменам! Если будут еще вопросы, не стесняйтесь обращаться.
