- Чтобы определить, во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми однородными шарами, мы воспользуемся законом всемирного тяготения:
[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} ]
где ( G ) — гравитационная постоянная, ( m_1 ) и ( m_2 ) — массы тел, ( r ) — расстояние между их центрами.
Если шары соприкасались, расстояние между их центрами равно ( r = 2R ), где ( R ) — радиус шара. Когда один из шаров отодвигается на расстояние, равное диаметру (то есть на ( 2R )), то новое расстояние между центрами будет:
[ r' = 2R + 2R = 4R ]
Теперь, используя формулу для силы тяготения:
Исходная сила:
[ F = G \frac{m^2}{(2R)^2} = G \frac{m^2}{4R^2} ]
Новая сила:
[ F' = G \frac{m^2}{(4R)^2} = G \frac{m^2}{16R^2} ]
Теперь найдем отношение:
[ \frac{F'}{F} = \frac{G \frac{m^2}{16R^2}}{G \frac{m^2}{4R^2}} = \frac{1/16}{1/4} = \frac{1}{4} ]
Следовательно, сила тяготения уменьшится в 4 раза.
- Для расчета мощности насоса воспользуемся формулой мощности:
[ P = \frac{W}{t} ]
где ( W ) — работа, ( t ) — время. Работа может быть определена как:
[ W = mgh ]
где ( m ) — масса воды, ( g ) — ускорение свободного падения, ( h ) — высота.
В данном случае, насос подает 300 кг воды в минуту, что составляет 5 кг в секунду. Подставим значения:
[ W = 300 , \text{кг} \times 10 , \text{м/с}^2 \times 80 , \text{м} = 240000 , \text{Дж} , (\text{за минуту}) ]
Или в секунду:
[ \frac{240000 , \text{Дж}}{60} = 4000 , \text{Дж/с} = 4000 , \text{Вт} ]
Теперь, учитывая КПД насоса:
[ P_{\text{мотор}} = \frac{P}{КПД} = \frac{4000 , \text{Вт}}{0.8} = 5000 , \text{Вт} = 5 , \text{кВт} ]
Таким образом, мощность мотора составляет 5 кВт.
- Для определения высоты, на которой кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз, начнем с формулы для кинетической энергии:
[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 ]
Где ( m ) — масса камня, ( v = 10 , \text{м/с} ). Кинетическая энергия на земле:
[ E_{k0} = \frac{1}{2} m (10)^2 = 50m ]
Кинетическая энергия на высоте ( h ):
[ E_k(h) = E_{k0} - mgh ]
Когда энергия уменьшится в 5 раз, то:
[ E_k(h) = \frac{E_{k0}}{5} = \frac{50m}{5} = 10m ]
Подставляем это в уравнение:
[ 10m = 50m - mgh ]
Сокращаем ( m ):
[ 10 = 50 - gh ]
[ gh = 40 \Rightarrow h = \frac{40}{10} = 4 , \text{м} ]
Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз, составляет 4 м.
- Для определения угла отклонения маятника воспользуемся законом сохранения импульса. Перед столкновением количество импульса пули равно:
[ p_{пуля} = mv = 0.015 , \text{кг} \times 200 , \text{м/с} = 3 , \text{кг м/с} ]
После столкновения маятник и пуля движутся как одно тело. Их общая масса ( m + M ):
[ p_{система} = (m + M) \cdot V ]
Сохраняя импульс, получаем:
[ 3 = (0.015 + 1.5)V \Rightarrow 3 = 1.515 V \Rightarrow V \approx \frac{3}{1.515} \approx 1.978 , \text{м/с} ]
Теперь найдем угол отклонения ( \phi ) маятника, используя закон сохранения энергии. Потенциальная энергия на максимальной высоте равна начальной кинетической энергии:
[ \frac{1}{2} (m + M) V^2 = (m + M)gh ]
Считаем высоту ( h ):
[ h = \frac{V^2}{2g} = \frac{(1.978)^2}{2 \cdot 10} \approx 0.196 , \text{м} ]
Теперь, используя длину маятника:
[ h = 1 - \cos(\phi) \Rightarrow \phi = \arccos(1 - h) ]
[ \phi = \arccos(1 - 0.196) \approx \arccos(0.804) \approx 36.3^\circ ]
Таким образом, угол отклонения маятника составляет примерно 36.3 градуса.
- Работа, совершаемая человеком при переходе к центру платформы, может быть найдена через изменение момента импульса.
Начальный момент импульса человека:
[ L_1 = m \cdot R \cdot v_1 ]
где ( v_1 = 2\pi R n_1 ) и ( n_1 = 10 , \text{мин} = \frac{10}{60} , \text{с} ).
Поскольку ( n_1 = 1/6 , \text{с} ):
[ v_1 = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{6} \approx 1.047 , \text{м/с} ]
[ L_1 = 60 \cdot 1 \cdot 1.047 \approx 62.82 ]
При переходе к центру, момент инерции человека не изменится.
Финальный момент будет равен:
[ L_2 = m \cdot 0 \approx 0 ]
Работа равна изменению момента:
[ A = L_1 - L_2 = 62.82 - 0 ]
Таким образом, работа, совершаемая человеком, равна 62.82 Дж.
Теперь вы готовы к экзаменам! Если будут еще вопросы, не стесняйтесь обращаться.
