Чтобы найти угол между прямыми ( AA_1 ) и ( BC_1 ) в правильной треугольной призме ( ABCA_1B_1C_1 ), все ребра которой равны 1, начнем с анализа координат вершин призмы.
Зададим координаты вершин призмы в трехмерной системе координат:
- ( A(0, 0, 0) )
- ( B(1, 0, 0) )
- ( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) ) (так как ABC — равносторонний треугольник с длиной стороны 1)
- ( A_1(0, 0, 1) )
- ( B_1(1, 0, 1) )
- ( C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) )
Теперь найдем векторы ( \vec{AA_1} ) и ( \vec{BC_1} ):
- Вектор ( \vec{AA_1} = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1) )
- Вектор ( \vec{BC_1} = C_1 - B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) - (1, 0, 0) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) )
Теперь найдем угол между этими двумя векторами. Для этого используем формулу для вычисления косинуса угла ( \theta ) между двумя векторами ( \vec{u} ) и ( \vec{v} ):
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
]
Где ( \vec{u} = \vec{AA_1} = (0, 0, 1) ), и ( \vec{v} = \vec{BC_1} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) ).
Сначала найдем скалярное произведение ( \vec{u} \cdot \vec{v} ):
[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 1 = 1
]
Теперь найдем длину векторов:
- ( |\vec{u}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 )
- ( |\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{2} )
Теперь подставим значение в формулу для косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Следовательно, угол ( \theta ) можно найти как:
[
\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ
]
Таким образом, угол между прямыми ( AA_1 ) и ( BC_1 ) равен ( 45^\circ ).
