в треугольнике АВС угол С 90°, sin 4/5, AC=9. найдите АВ

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, у нас есть катет AC и гипотенуза AB, которую нам нужно найти. Используя тригонометрические функции, мы знаем, что синус угла A можно выразить как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

Дано, что sin(A) = 4/5. Сначала определим длину BC. Поскольку градусов A и C образуют прямой треугольник, можно использовать соотношение:

\[ \sin(A) = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения в уравнение. Назовем AB = x. Тогда:

\[ \frac{BC}{x} = \frac{4}{5} \]

Из этого уравнения можно выразить BC:

\[ BC = \frac{4}{5}x \]

Теперь, учитывая, что AC = 9, применим теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ x^2 = 9^2 + \left(\frac{4}{5}x\right)^2 \]

\[ x^2 = 81 + \frac{16}{25}x^2 \]

Умножим все на 25, чтобы избавиться от дробей:

\[ 25x^2 = 2025 + 16x^2 \]

Переместим все, что связано с x^2, в одну сторону:

\[ 25x^2 - 16x^2 = 2025 \]

\[ 9x^2 = 2025 \]

Теперь разделим обе стороны на 9:

\[ x^2 = \frac{2025}{9} \]

\[ x^2 = 225 \]

Итак, извлекаем квадратный корень:

\[ x = 15 \]

Таким образом, длина гипотенузы AB равна 15.