В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, у нас есть катет AC и гипотенуза AB, которую нам нужно найти. Используя тригонометрические функции, мы знаем, что синус угла A можно выразить как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).
Дано, что sin(A) = 4/5. Сначала определим длину BC. Поскольку градусов A и C образуют прямой треугольник, можно использовать соотношение:
[
\sin(A) = \frac{BC}{AB}
]
Подставим известные значения в уравнение. Назовем AB = x. Тогда:
[
\frac{BC}{x} = \frac{4}{5}
]
Из этого уравнения можно выразить BC:
[
BC = \frac{4}{5}x
]
Теперь, учитывая, что AC = 9, применим теорему Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
x^2 = 9^2 + \left(\frac{4}{5}x\right)^2
]
[
x^2 = 81 + \frac{16}{25}x^2
]
Умножим все на 25, чтобы избавиться от дробей:
[
25x^2 = 2025 + 16x^2
]
Переместим все, что связано с x^2, в одну сторону:
[
25x^2 - 16x^2 = 2025
]
[
9x^2 = 2025
]
Теперь разделим обе стороны на 9:
[
x^2 = \frac{2025}{9}
]
[
x^2 = 225
]
Итак, извлекаем квадратный корень:
[
x = 15
]
Таким образом, длина гипотенузы AB равна 15.
