На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.

Чтобы решить задачу, давайте поэтапно разберемся с данными о шестиугольниках. 1. **Площадь меньшего шестиугольника**: Площадь меньшего шестиугольника равна 54. Для правильного шестиугольника площадь можно найти по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \] где \( a \) — это длина стороны шестиугольника. Найдем длину стороны меньшего шестиугольника. Подставим значение площади в формулу: \[ 54 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \] Умножим обе стороны на 2: \[ 108 = 3\sqrt{3} a^2. \] Разделим обе стороны на \( 3\sqrt{3} \): \[ a^2 = \frac{108}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}. \] Далее извлечем квадратный корень: \[ a = \sqrt{12\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\sqrt[4]{3} = 2\sqrt{3\sqrt{3}}. \] 2. **Диагонали шестиугольников**: В правильном шестиугольнике диагонали можно определить по его стороне. Отметим, что наименьшая диагональ большего шестиугольника, совпадающая с наибольшей диагональю меньшего, равна длине двойной стороны. Для правильного шестиугольника наибольшая диагональ равна \( 2a \). Значит, для меньшего шестиугольника: \[ d_{max, меньший} = 2a. \] 3. **Требуется площадь пересечения**: Поскольку меньший шестиугольник помещен внутри большего, а их диагонали совпадают, то площадь пересечения будет равна площади меньшего шестиугольника. Следовательно, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, составляет: \[ \text{Площадь пересечения} = 54. \] Таким образом, ответ: пересечение двух шестиугольников имеет площадь 54.