Для решения задачи о количеств различных шестёрок целых чисел ( (a, b, c, d, e, f) ), таких что ( a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f = 72 ), необходимо факторизовать число 72.
Факторизация числа 72:
[
72 = 2^3 \cdot 3^2
]
Теперь, чтобы упростить задачу, представим ( a, b, c, d, e, f ) как произведение ( 2^x \cdot 3^y ), где ( x ) и ( y ) – это неотрицательные целые числа, которые затрагивают деление множителей 72.
Распишем ( x ) и ( y ):
[
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 3
]
[
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 2
]
Где ( x_i ) и ( y_i ) — это степени 2 и 3 соответственно в каждом из множителей. Для решения этих уравнений можно использовать "комбинации с повторениями".
- Решение первого уравнения (( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 3 )):
Количество решений можно найти по формуле:
[
C(n+k-1, k-1)
]
где ( n ) — это сумма (в нашем случае 3), а ( k ) — количество переменных (в нашем случае 6).
Здесь ( n = 3 ) и ( k = 6 ):
[
C(3 + 6 - 1, 6 - 1) = C(8, 5) = C(8, 3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56
]
- Решение второго уравнения (( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 2 )):
Аналогично:
[
n = 2, k = 6
]
[
C(2 + 6 - 1, 6 - 1) = C(7, 5) = C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21
]
Теперь, так как обе задачи независимы, общее количество шестёрок будет равно произведению количества решений:
[
56 \cdot 21 = 1176
]
Таким образом, количество различных шестёрок различных целых чисел ( (a, b, c, d, e, f) ), таких что ( a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f = 72 ), равно 1176.