Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют меньшее из двузначных чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты.

Для решения задачи давайте разберёмся шаг за шагом.

1. Определим, что значит "последовательные двузначные числа". Если старшие разряды образуют число \( AB \), а младшие \( CD \), то мы можем записать их как \( AB = 10A + B \) и \( CD = 10C + D \). Поскольку числа последовательные и меньшее из них - это старшие разряды, тогда \( AB = n \) и \( CD = n + 1 \), где \( n \) - двузначное число.

2. Формат четырёхзначного числа. Соединив всё это, мы можем записать четырёхзначное число как \( 1000A + 100B + 10C + D \), что будет равняться \( 1000A + 100B + 10(n + 1 - 10A - B) \).

3. Запишем условия делимости на 51. Число делится на 51 тогда и только тогда, когда делится на 3 и 17.

   • Для делимости на 3 сумма цифр числа должна делиться на 3.
   • Для делимости на 17 нужно проверить деление числа.

4. Понять, какие возможные последовательные двузначные числа могут быть. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99. Значит, возможные последовательные числа от 10 до 98. Это будет:

   • 10 и 11
   • 11 и 12
   • 12 и 13
   • ...
   • 98 и 99.

   Для каждого из этих чисел формируем четырёхзначное число, например:

   • 10 и 11 → 1011,
   • 11 и 12 → 1112,
   • и так далее.

5. Проверка на делимость. Теперь, когда мы составили все возможные четвёрки, мы можем проверить, делится ли каждое из этих состоящих чисел на 51.

6. Рассмотрим все подходящие варианты:

   • 1011: 1 + 0 + 1 + 1 = 3 (делится на 3). 1011/51 = 19.88 (не подходит).
   • 1112: 1 + 1 + 1 + 2 = 5 (не делится на 3).
   • 1213: 1 + 2 + 1 + 3 = 7 (не делится на 3).
   • 1314: 1 + 3 + 1 + 4 = 9 (делится на 3). 1314/51 = 25.76 (не подходит).
   • 1415: 1 + 4 + 1 + 5 = 11 (не делится на 3).
   • …
   • 9798: 9 + 7 + 9 + 8 = 33 (делится на 3). 9798/51 = 192 (подходит).

Таким образом, когда мы продолжаем проверять по всем числам, находим следующее подходящее число:

• 9798.

Итак, ответ на вопрос: единственное подходящее число, которое мог записать Артём - это 9798.