На олимпиаде были предложены 3 задачи, каждая из которых оценивалась в 0, 1 или 2 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов хотя бы по двум задачам. Какое наибольшее количество участников могло быть на олимпиаде?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим возможные оценки участников. У нас есть 3 задачи, и каждая может быть оценена в 0, 1 или 2 балла. Это означает, что для каждой задачи у нас есть 3 варианта оценок. Таким образом, количество возможных комбинаций оценок для одного участника можно вычислить по следующей формуле: \[ 3 \text{ (оценки для первой задачи)} \times 3 \text{ (оценки для второй задачи)} \times 3 \text{ (оценки для третьей задачи)} = 3^3 = 27. \] Теперь давайте проанализируем условие задачи. Условия гласят, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое количество баллов хотя бы по двум задачам. Это означает, что каждая комбинация оценок должна быть уникальна. Каждая комбинация из трех задач может дать 27 различных вариантов, но не все из них могут быть использованы, если мы хотим, чтобы не было совпадений по оценкам хотя бы по одной задаче. Чтобы удовлетворить этому условию, мы можем рассмотреть, сколько различных оценок можно получить по каждой задаче. Мы имеем 3 задачи и для каждой задачи 3 возможных оценки (0, 1, 2), что в общем также дает 27 различных комбинаций. Однако для удовлетворения условия уникальности по оценкам за две задачи мы должны ограничить наш расчет. Если будем учитывать, что оценка за каждую задачу не может совпадать в отношении к другим участникам, то для оптимизации использования оценок мы можем использовать 9 различных оценок: 1. (0, 0, 0) 2. (0, 0, 1) 3. (0, 0, 2) 4. (0, 1, 0) 5. (0, 1, 1) 6. (0, 1, 2) 7. (0, 2, 0) 8. (0, 2, 1) 9. (0, 2, 2) 10. (1, 0, 0) 11. (1, 0, 1) 12. (1, 0, 2) 13. (1, 1, 0) 14. (1, 1, 1) 15. (1, 1, 2) 16. (1, 2, 0) 17. (1, 2, 1) 18. (1, 2, 2) 19. (2, 0, 0) 20. (2, 0, 1) 21. (2, 0, 2) 22. (2, 1, 0) 23. (2, 1, 1) 24. (2, 1, 2) 25. (2, 2, 0) 26. (2, 2, 1) 27. (2, 2, 2) Однако, чтобы сохранить уникальность оценок, нам нужно ограничить количество общих оценок. Максимально возможным количеством участников с учётом уникальности оценок будет 9. Таким образом, максимальное количество участников, которые могли бы участвовать в олимпиаде, составляет 9.