В данной задаче нам необходимо проанализировать информацию о именах и их распределении в компании. У нас есть следующие ограничения:
- Имена должны быть в алфавитном порядке и уникальны.
- В любой группе из трех человек есть как минимум одна Анна.
- В любой группе из пяти человек есть как минимум одна Мария.
- Нет полных тёзок, то есть у людей не может быть одинаковых полных имен.
Давайте обозначим количество людей в компании как ( n ).
Поскольку в любой группе из трех человек должна быть хотя бы одна Анна, это предполагает, что количество Анн в компании должно быть достаточно велико, чтобы в любой группе из трех не оказалось только людей с другими именами. Пусть количество Анн равно ( a ).
Также, поскольку в любой группе из пяти человек есть хотя бы одна Мария, количество Марий будет не менее ( b ).
Теперь проанализируем возможное максимальное значение ( n ).
Если в компании две Анны, то в группе из трех человек может оказаться только одна Анна, а два других человека могут иметь другие имена. Это не удовлетворяет первому условию. Следовательно, минимально необходимое количество Анн — три.
Если ( b ) — количество Марий, то минимально возможное количество Марий для выполнения условия (в любой группе из пяти человек хотя бы одна Мария) должно быть также равно двум. Таким образом, ( b ) должно быть не менее двух.
Теперь можно убедиться, что в компании могут быть люди с другими именами, например, допустим, что среди остальных имён ( c ) — количество других имен. Из этих условий можно вывести следующее:
- Берем 3 Анны (A1, A2, A3)
- Берем 2 Марии (M1, M2)
- Если у нас есть 5 других уникальных имен (например, B1, B2, B3, B4, B5), то общая численность будет равна ( 3 + 2 + 5 = 10 ).
Теперь проверим, выполняются ли условия:
- В любой группе из трех человек будет хотя бы одна Анна (по количеству).
- В любой группе из пяти человек будет хотя бы одна Мария (по количеству).
Если мы добавим еще кого-то, нарушится одно из условий, так как больше двух Марий или меньше трех Анн уже не будет обеспечивать необходимым образом группы.
Таким образом, наибольшее количество человек в компании, которое может удовлетворять всем условиям, равно 10.