В сказочной стране принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке. Так, например, имя Анна Мария Вега допустимо, а Анна Анна…
В сказочной стране принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке. Так, например, имя Анна Мария Вега допустимо, а Анна Анна или Мария Анна нет. В некоторой компании среди любых трех людей есть хотя бы одна Анна, а среди любых пятерых хотя бы одна Мария. Полных тёзок, совпадающих по обоим именам, нет. Какое наибольшее количество человек может быть в компании?
В данной задаче нам необходимо проанализировать информацию о именах и их распределении в компании. У нас есть следующие ограничения:
- Имена должны быть в алфавитном порядке и уникальны.
- В любой группе из трех человек есть как минимум одна Анна.
- В любой группе из пяти человек есть как минимум одна Мария.
- Нет полных тёзок, то есть у людей не может быть одинаковых полных имен.
Давайте обозначим количество людей в компании как \( n \).
Поскольку в любой группе из трех человек должна быть хотя бы одна Анна, это предполагает, что количество Анн в компании должно быть достаточно велико, чтобы в любой группе из трех не оказалось только людей с другими именами. Пусть количество Анн равно \( a \).
Также, поскольку в любой группе из пяти человек есть хотя бы одна Мария, количество Марий будет не менее \( b \).
Теперь проанализируем возможное максимальное значение \( n \).
Если в компании две Анны, то в группе из трех человек может оказаться только одна Анна, а два других человека могут иметь другие имена. Это не удовлетворяет первому условию. Следовательно, минимально необходимое количество Анн — три.
Если \( b \) — количество Марий, то минимально возможное количество Марий для выполнения условия (в любой группе из пяти человек хотя бы одна Мария) должно быть также равно двум. Таким образом, \( b \) должно быть не менее двух.
Теперь можно убедиться, что в компании могут быть люди с другими именами, например, допустим, что среди остальных имён \( c \) — количество других имен. Из этих условий можно вывести следующее:
- Берем 3 Анны (A1, A2, A3)
- Берем 2 Марии (M1, M2)
- Если у нас есть 5 других уникальных имен (например, B1, B2, B3, B4, B5), то общая численность будет равна \( 3 + 2 + 5 = 10 \).
Теперь проверим, выполняются ли условия:
- В любой группе из трех человек будет хотя бы одна Анна (по количеству).
- В любой группе из пяти человек будет хотя бы одна Мария (по количеству).
Если мы добавим еще кого-то, нарушится одно из условий, так как больше двух Марий или меньше трех Анн уже не будет обеспечивать необходимым образом группы.
Таким образом, наибольшее количество человек в компании, которое может удовлетворять всем условиям, равно 10.
