Для решения задачи о правильной квадратной пирамиде, нам нужно использовать информацию о площади боковой поверхности и общей площади поверхности.
Площадь основания:
Обозначим длину стороны основания пирамиды как ( a ). Площадь основания (квадрат) рассчитывается по формуле:
[
S_{осн} = a^2
]
Площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности правильной квадратной пирамиды можно вычислить следующим образом. У пирамиды 4 треугольных грани, и площадь одной треугольной грани равна:
[
S_{бок} = 2a \cdot h'
]
где ( h' ) — высота треугольника, образующего боковую грань. Высота этого треугольника равна ( \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} ), где ( h ) — высота пирамиды.
Площадь боковой поверхности в терминах ( a ) и высоты пирамиды ( h ):
[
S_{бок} = 2a \cdot \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
]
Общая площадь поверхности:
Общая площадь поверхности включает площадь основания и боковую поверхность:
[
S_{общ} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 2a \cdot \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
]
Теперь у нас есть две уравнения:
- Площадь боковой поверхности: ( 2a \cdot \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 14,76 )
- Общая площадь поверхности: ( a^2 + 14,76 = 18 )
Теперь можем выразить ( a^2 ):
[
a^2 = 18 - 14,76 = 3,24
]
[
a = \sqrt{3,24} \approx 1,8 , \text{м}
]
Теперь подставим найденное значение ( a ) в уравнение для площади боковой поверхности:
[
2 \cdot 1,8 \cdot \sqrt{h^2 + \left(\frac{1,8}{2}\right)^2} = 14,76
]
Сначала найдем ( 2 \cdot 1,8 = 3,6 ):
[
3,6 \cdot \sqrt{h^2 + 0.9^2} = 14,76
]
[
\sqrt{h^2 + 0.81} = \frac{14,76}{3,6} \approx 4,1
]
Теперь квадратим обе стороны:
[
h^2 + 0.81 = (4.1)^2 = 16.81
]
[
h^2 = 16.81 - 0.81 = 16
]
[
h = \sqrt{16} = 4 , \text{м}
]
Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна ( 1,8 , \text{м} ), а высота пирамиды составляет ( 4 , \text{м} ).