Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек( x;y) , удовлетворяющих соотношению||х|-|у||=1,а Ваня нарисовал синим фломастером параболу, у=х^2-1.сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Question 1

Задача Задача №1891128

А

Аноним

17 октября 2024 02:03 · публичный вопрос

А

Аноним 17 октября 2024 02:03

Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек( x;y) , удовлетворяющих соотношению||х|-|у||=1,а Ваня нарисовал синим фломастером параболу, у=х^2-1.сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Answer

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем каждое из условий.

Условие для красных точек: \( ||x| - |y|| = 1 \). Это уравнение создает четыре линии, которые можно определить, рассматривая разные случаи:
- \( |x| - |y| = 1 \)
- \( |y| - |x| = 1 \)
Рассматривая каждую четверку случаев, мы получаем следующие линии:
- \( y = x - 1 \)
- \( y = x + 1 \)
- \( y = -x - 1 \)
- \( y = -x + 1 \)
Эти линии образуют фигурные углы, и визуально их можно представить в виде ромба, центрированного в начале координат.
Условие для синей точки: \( y = x^2 - 1 \). Это уравнение представляет параболу, открывающуюся вверх и с смещением вниз на 1 по оси Y.

Теперь нужно найти точки пересечения красных линий и параболы. Мы будем подставлять уравнения линий в уравнение параболы.

Поиск точек пересечения

Первая линия: \( y = x - 1 \) \[ x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \] Таким образом, точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). При подстановке:
- \( x = 0: y = -1 \) → точка (0, -1)
- \( x = 1: y = 0 \) → точка (1, 0)
Вторая линия: \( y = x + 1 \) \[ x + 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x - 2 = 0 \] Раскладывая на множители: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Таким образом, точки: \( x = 2 \) и \( x = -1 \). При подстановке:
- \( x = 2: y = 3 \) → точка (2, 3)
- \( x = -1: y = 0 \) → точка (-1, 0)
Третья линия: \( y = -x - 1 \) \[ -x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \] Таким образом, точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \). При подстановке:
- \( x = 0: y = -1 \) → точка (0, -1)
- \( x = -1: y = 0 \) → точка (-1, 0)
Четвертая линия: \( y = -x + 1 \) \[ -x + 1 = x^2 - 1 \implies x^2 + x - 2 = 0 \] Раскладывая на множители: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Таким образом, нахождения точек такие же, как и в предыдущем случае:
- \( x = 2: y = -1 \) → точка (2, -1)
- \( x = -1: y = 2 \) → точка (-1, 2)

Подведение итогов

Теперь соберем все найденные точки пересечения:

(0, -1)
(1, 0)
(2, 3)
(-1, 0)

Таким образом, общими точками, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет, являются:

(0, -1)
(1, 0)
(-1, 0)

Поэтому, общее количество точек, покрашенных и в красный, и в синий цвет, равно 4.

Question 2

Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек( x;y) , удовлетворяющих соотношению||х|-|у||=1,а Ваня нарисовал синим фломастером параболу, у=х^2-1.сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Answer

Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем каждое из условий. 1. **Условие для красных точек**: \( ||x| - |y|| = 1 \). Это уравнение создает четыре линии, которые можно определить, рассматривая разные случаи: - \( |x| - |y| = 1 \) - \( |y| - |x| = 1 \) Рассматривая каждую четверку случаев, мы получаем следующие линии: - \( y = x - 1 \) - \( y = x + 1 \) - \( y = -x - 1 \) - \( y = -x + 1 \) Эти линии образуют фигурные углы, и визуально их можно представить в виде ромба, центрированного в начале координат. 2. **Условие для синей точки**: \( y = x^2 - 1 \). Это уравнение представляет параболу, открывающуюся вверх и с смещением вниз на 1 по оси Y. Теперь нужно найти точки пересечения красных линий и параболы. Мы будем подставлять уравнения линий в уравнение параболы. ### Поиск точек пересечения 1. **Первая линия**: \( y = x - 1 \) \[ x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \] Таким образом, точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). При подстановке: - \( x = 0: y = -1 \) → точка (0, -1) - \( x = 1: y = 0 \) → точка (1, 0) 2. **Вторая линия**: \( y = x + 1 \) \[ x + 1 = x^2 - 1 \implies x^2 - x - 2 = 0 \] Раскладывая на множители: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Таким образом, точки: \( x = 2 \) и \( x = -1 \). При подстановке: - \( x = 2: y = 3 \) → точка (2, 3) - \( x = -1: y = 0 \) → точка (-1, 0) 3. **Третья линия**: \( y = -x - 1 \) \[ -x - 1 = x^2 - 1 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \] Таким образом, точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \). При подстановке: - \( x = 0: y = -1 \) → точка (0, -1) - \( x = -1: y = 0 \) → точка (-1, 0) 4. **Четвертая линия**: \( y = -x + 1 \) \[ -x + 1 = x^2 - 1 \implies x^2 + x - 2 = 0 \] Раскладывая на множители: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Таким образом, нахождения точек такие же, как и в предыдущем случае: - \( x = 2: y = -1 \) → точка (2, -1) - \( x = -1: y = 2 \) → точка (-1, 2) ### Подведение итогов Теперь соберем все найденные точки пересечения: - (0, -1) - (1, 0) - (2, 3) - (-1, 0) Таким образом, общими точками, которые были покрашены и в красный, и в синий цвет, являются: - (0, -1) - (1, 0) - (-1, 0) Поэтому, общее количество точек, покрашенных и в красный, и в синий цвет, равно **4**.