Если известно, что ни одно из чисел ( a ), ( b ), ( c ) не равно 0 и что ( a + b + c = 0 ), то это значит, что ( c = - (a + b) ).
Теперь давайте рассмотрим, какие значения может принимать выражение ( ab + bc + ca ) в этих условиях.
Подставим в выражение ( ab + bc + ca ) значение ( c ):
[
ab + b(- (a + b)) + a(- (a + b)) = ab - ab - b^2 - a^2 - ab = - (a^2 + b^2 + ab).
]
Теперь, чтобы понять, какие конкретные значения может принимать это выражение, нам следует учесть, что ( a ), ( b ) и ( c ) могут быть как положительными, так и отрицательными числами, но их сумма равна нулю.
Формула ( - (a^2 + b^2 + ab) ) показывает, что мы получаем отрицательное значение для выражения, так как квадрат любого числа неотрицателен (то есть ( a^2 \geq 0 ), ( b^2 \geq 0 )). Таким образом, ( ab + bc + ca ) всегда будет меньше или равно нуля:
[
ab + bc + ca \leq 0.
]
Это значит, что ( ab + bc + ca ) может принимать любое значение, которое находится в интервале от минус бесконечности до нуля, но не может быть равно нулю, если одно из чисел ( a ), ( b ) или ( c ) не равно нулю.
Если бы вы хотели исследовать более специфические ситуации или примеры, не стесняйтесь делиться, и я помогу вам с этим!